A numerical algorithm for mirror sweeping processes
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2023Metadata
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Vilches Gutiérrez, Emilio
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A numerical algorithm for mirror sweeping processes
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Abstract
Esta tesis explora un caso particular del Proceso de Arraste Degenerado, un problema de
evolución descrito por una inclusión diferencial, en un espacio de Hilbert de dimensión infinita. La dinámica involucra un operador representado por el gradiente de una función
semicontinua inferior, convexa y propia, inspirada en el mapeo utilizado en el algoritmo de
descenso espejo. Nos referimos a esta dinámica como Mirror Sweeping Process. Para comenzar introducimos un operador, que llamamos aproximador, que generaliza la proyección a
conjuntos y mostramos algunas caracterizaciones y propiedades. A continuación mostramos
las condiciones necesarias para la suavidad de la preimagen de un conjunto convexo. Finalmente, construimos una familia de soluciones aproximadas al Mirror Sweeping Process
mediante un algoritmo númerico gobernado por el operador aproximador. Demostramos que
esta familia converge uniformemente a la única solución del Proceso de Arrastre Degenerado,
la cual no requiere ni compacidad de los conjuntos en movimiento ni linealidad del operador. This thesis explores a particular case of the Degenerate Sweeping Process, an evolution
problem described by a differential inclusion, in an infinite-dimensional Hilbert space. The
dynamic involves an operator represented by the gradient of a lower semicontinuous, convex
and proper function, inspired by the mapping used in the mirror descent algorithm. We refer
to this dynamic as the Mirror Sweeping Process. To begin we introduce an operator, which we
call approximator, that generalizes the projection to sets and show some characterization and
properties. Following that we show necessary conditions for the smoothness of the preimage
of a convex set. Finally, we construct a family of approximated solutions to the Mirror
Sweeping Process through numerical algorithm governed by the approximator operator. We
show that this family converges uniformly to the one and only solution of the Degenerate
Sweeping Process, which does not require neither compactness of the sets or linearity of the
operator.
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