Estudio de los solitones de la ecuación de KP-II

Abstract

Esta tesis está dedicada al estudio de las soluciones de tipo solitón y multi-solitón de la ecuación de KP-II construidas por Kodama. Estas se construyen a partir del Wronskiano de un conjunto de soluciones linealmente independientes de las primeras tres ecuaciones de la jerarquía de Burgers. A grandes rasgos, las soluciones construidas por Kodama pueden ser expresadas mediante un perfil y una fase, con fases definidas por medio de sumas de exponenciales. Durante el desarrollo de este trabajo se comienza reesctructuando los términos de la ecuación estudiada por Kodama en función de los parámetros descritos para expresar las soluciones, perfil y fase, para luego reagruparlos de cierta forma que permita apreciar ciertas estructuras que se generan en las soluciones. Para lo anterior, se definen cuatro operadores que permiten caracterizar a las fases según los valores que se obtienen al evaluarlas en dichos operadores. Además se define un operador que permite escribir una ecuación diferencial sobre el perfil, el cuál permitirá definir las características que debe de satisfacer el perfil que genere las soluciones. Posteriormente, se caracterizan tres tipos de soluciones. Estas son conocidas como soluciones de tipo solitón línea, multi-solitón resonante y 2-solitón. Las soluciones estudiadas en este trabajo utilizan un perfil fijo y los tipos de soluciones mencionados anteriormente se caracterizan por medio de las fases que se utilizan para construirlos. Este avance permite conocer de antemano el tipo de estructura que generarán ciertas fases al ser evaluadas bajo el perfil utilizado en el estudio, de igual forma es posible conocer la forma y características de las fases que construyen algún tipo de solución estudiado. Para trabajos futuros, sería interesante estudiar de manera más profunda la relación que existe entre el perfil seleccionado y los tipos de soluciones que se generan. De igual manera, es de interés conocer si un par distinto de perfil-fase puede construir el mismo tipo de soluciones. Además, es de interés poder caracterizar otro tipo de soluciones más complejas, es decir que se construyen a través del Wronskiano de más soluciones linealmente independientes de las ecuaciones de la jerarquía de Burgers.

This thesis is dedicated to the study of soliton and multi-soliton solutions of the KP-II equation constructed by Kodama. These are built from the Wronskian of a set of linearly independent solutions of the first three equations of the Burgers hierarchy. Broadly speaking, the solutions constructed by Kodama can be expressed in terms of a profile and a phase, with phases defined by sums of exponentials. During the development of this work, the terms of the equation studied by Kodama are initially restructured in terms of the parameters described to express the solutions (profile and phase). Subsequently, they are regrouped in a certain manner to reveal certain structures that emerge in the solutions. For this purpose, four operators are defined to characterize the phases according to the values obtained by evaluating them on these operators. Furthermore, an operator is defined, which comprises a differential equation concerning the profile. This operator serves the purpose of delineating the specific characteristics that the profile must adhere to in order to engender the solutions. Following this, three types of solutions are characterized: line-soliton solutions, resonant multi-soliton solutions, and 2-soliton solutions. The solutions examined in this study employ a fixed profile, with the mentioned solution types distinguished by the phases used in their construction. This approach facilitates the structural characteristics that certain phases will produce when evaluated under the profile employed in the study. Similarly, it enables an understanding of the form and attributes of the phases that compose the studied solution types. For future endeavors, it would be compelling to conduct a more thorough examination of the relationship between the chosen profile and the resultant solution types. Similarly, exploring whether alternative profile-phase combinations can yield the same types of solutions is of considerable interest. Moreover, there remains an open question regarding the characterization of additional, more intricate solution types. Specifically, investigating solutions constructed through the Wronskian of a greater number of linear independent solutions from the Burgers hierarchy equations.