Estudio de los solitones de la ecuación de KP-II
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Abstract
Esta tesis está dedicada al estudio de las soluciones de tipo solitón y multi-solitón de la
ecuación de KP-II construidas por Kodama. Estas se construyen a partir del Wronskiano
de un conjunto de soluciones linealmente independientes de las primeras tres ecuaciones de
la jerarquía de Burgers. A grandes rasgos, las soluciones construidas por Kodama pueden
ser expresadas mediante un perfil y una fase, con fases definidas por medio de sumas de
exponenciales.
Durante el desarrollo de este trabajo se comienza reesctructuando los términos de la ecuación estudiada por Kodama en función de los parámetros descritos para expresar las soluciones, perfil y fase, para luego reagruparlos de cierta forma que permita apreciar ciertas
estructuras que se generan en las soluciones. Para lo anterior, se definen cuatro operadores
que permiten caracterizar a las fases según los valores que se obtienen al evaluarlas en dichos
operadores. Además se define un operador que permite escribir una ecuación diferencial sobre
el perfil, el cuál permitirá definir las características que debe de satisfacer el perfil que genere
las soluciones.
Posteriormente, se caracterizan tres tipos de soluciones. Estas son conocidas como soluciones de tipo solitón línea, multi-solitón resonante y 2-solitón. Las soluciones estudiadas en
este trabajo utilizan un perfil fijo y los tipos de soluciones mencionados anteriormente se
caracterizan por medio de las fases que se utilizan para construirlos. Este avance permite
conocer de antemano el tipo de estructura que generarán ciertas fases al ser evaluadas bajo
el perfil utilizado en el estudio, de igual forma es posible conocer la forma y características
de las fases que construyen algún tipo de solución estudiado.
Para trabajos futuros, sería interesante estudiar de manera más profunda la relación que
existe entre el perfil seleccionado y los tipos de soluciones que se generan. De igual manera, es
de interés conocer si un par distinto de perfil-fase puede construir el mismo tipo de soluciones.
Además, es de interés poder caracterizar otro tipo de soluciones más complejas, es decir que
se construyen a través del Wronskiano de más soluciones linealmente independientes de las
ecuaciones de la jerarquía de Burgers. This thesis is dedicated to the study of soliton and multi-soliton solutions of the KP-II
equation constructed by Kodama. These are built from the Wronskian of a set of linearly
independent solutions of the first three equations of the Burgers hierarchy. Broadly speaking,
the solutions constructed by Kodama can be expressed in terms of a profile and a phase, with
phases defined by sums of exponentials.
During the development of this work, the terms of the equation studied by Kodama are
initially restructured in terms of the parameters described to express the solutions (profile
and phase). Subsequently, they are regrouped in a certain manner to reveal certain structures
that emerge in the solutions. For this purpose, four operators are defined to characterize the
phases according to the values obtained by evaluating them on these operators. Furthermore,
an operator is defined, which comprises a differential equation concerning the profile. This
operator serves the purpose of delineating the specific characteristics that the profile must
adhere to in order to engender the solutions.
Following this, three types of solutions are characterized: line-soliton solutions, resonant
multi-soliton solutions, and 2-soliton solutions. The solutions examined in this study employ
a fixed profile, with the mentioned solution types distinguished by the phases used in their
construction. This approach facilitates the structural characteristics that certain phases will
produce when evaluated under the profile employed in the study. Similarly, it enables an
understanding of the form and attributes of the phases that compose the studied solution
types.
For future endeavors, it would be compelling to conduct a more thorough examination of
the relationship between the chosen profile and the resultant solution types. Similarly, exploring whether alternative profile-phase combinations can yield the same types of solutions
is of considerable interest. Moreover, there remains an open question regarding the characterization of additional, more intricate solution types. Specifically, investigating solutions
constructed through the Wronskian of a greater number of linear independent solutions from
the Burgers hierarchy equations.
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Tesis para optar al grado de Magíster en Ciencias de la Ingeniería, Mención Matemáticas Aplicadas Memoria para optar al título de Ingeniero Civil Matemático
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FONDECYTs 1231250, 1221076, Basal CMM FB210005
and MathAmSud WAFFLE 23-MATH-18
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URI: https://repositorio.uchile.cl/handle/2250/198903
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