Thick points study of log-correlated fields

Abstract

Los campos log-correlacionados son campos aleatorios cuyas correlaciones dependen logarítmicamente de la distancia entre los puntos. Se cree ampliamente que, bajo condiciones suaves, los valores extremos de cualquier campo log-correlacionado caen dentro de la misma clase de universalidad. En otras palabras, su comportamiento será similar al de un ejemplo representativo de esta clase.

El campo log-correlacionado más estudiado es el Gaussian Free Field (GFF) en dos dimensiones, un campo Gaussiano centrado cuya función de correlación es la función de Green del Laplaciano. Aunque el GFF en sí mismo no es una función en el sentido tradicional, sus valores extremos pueden estudiarse de manera significativa regularizando el campo. Específicamente, el punto $\g$-alto del campo se puede definir como \begin{equation*} T(\g)\doteq \left\{x\in D: \limsup_{\e\to0} \frac{\Phi_\e(x)}{\log(1/\e)} = \g \right\}, \end{equation*} donde $\Phi_\e$ denota la aproximación de circle-average del campo.

Con el objetivo de explorar las propiedades de universalidad de los thick points en los campos log-correlacionados, presentamos un nuevo objeto que captura la esencia de todas las posibles variantes de estos campos: el pseudo Gaussian Free Field (pGFF). Este es un campo cuyas correlaciones están regidas por la función de Green. En la primera parte de esta tesis, describimos las características fundamentales que hacen del pGFF un objeto adecuado para abordar nuestro estudio. Posteriormente, analizamos los valores extremos del pGFF en el caso unidimensional.

En la parte final de esta tesis, estudiamos el comportamiento de los thick points para una clase específica de pGFF. Para esta clase restringida, demostramos que la dimensión de los thick points exhibe un comportamiento universal, coincidiendo con el del GFF. La idea central es utilizar la convergencia mod-Gaussiana para mostrar que las probabilidades de cola de ciertas variables aleatorias se comportan de manera similar a las de las variables Gaussianas.

Log-correlated fields are random fields whose correlations depend logarithmically on the distance between points. It is widely believed that, under mild conditions, the extreme values of any log-correlated field fall within the same universality class. In other words, their behavior will resemble that of a representative example from this class. The best-understood log-correlated field is the Gaussian Free Field (GFF) in two dimensions, a centered Gaussian field whose correlation function is the Green’s function of the Laplacian. Although the GFF itself is not a function in the traditional sense, its extreme values can be meaningfully studied by regularizing the field. Specifically, the γ-thick point of the field can be defined as T(a) .=

x ∈ D : lim sup ε→0 Φϵ(x) log(1/ε) = γ

, where Φϵ denotes the circle-average approximation of the field. With the aim of exploring the universality properties of thick points in log-correlated fields, we introduce a new object that captures the essence of all possible variants of these fields: the pseudo Gaussian Free Field (pGFF). This is a field whose correlations are governed by the Green’s function. In the first part of this thesis, we describe the fundamental characteristics that make the pGFF a suitable object for our study. Subsequently, we analyze the extreme values of the pGFF in the one-dimensional case. In the final part of this thesis, we study the behavior of thick points for a specific class of pGFF. For this restricted class, we demonstrate that the dimension of thick points exhibits universal behavior, matching that of the GFF. The core idea is to use mod-Gaussian convergence to show that the tail probabilities of certain random variables behave similarly to those of Gaussian variables.