Blackjack y finanzas: exploración de estrategias de apuestas óptimas para el juego

Abstract

Este estudio lleva a cabo un análisis exhaustivo y detallado de las relaciones matemáticas y financieras inherentes al famoso juego de apuestas “Blackjack”. Mediante un modelamiento matemático riguroso del juego y principios de teoría financiera, el estudio se propone explorar los límites teóricos de la ventaja que un jugador con Información Completa puede obtener en el Blackjack, y cómo estos hallazgos pueden contribuir a una comprensión más profunda de las estrategias óptimas en la gestión de trading de diversos tipos de activos financieros. A partir de la información presente en una sesión de juego de Blackjack, se abstraen las variables que definen por completo el estado del juego en cada momento, y que son relevantes para los retornos que obtiene el jugador. Estas variables permiten modelar matemáticamente los 2 problemas que debe resolver el jugador: establecer una política de juego y establecer una política de apuestas. La primera se refiere al establecimiento de un criterio para determinar qué decisión tomar (Pedir, Plantarse, Doblar o Abrir) en cada instante de una ronda. La segunda consiste en determinar que fracción del patrimonio se debe apostar previo al comienzo de cada ronda, asumiendo que se jugarán varias rondas de apuestas consecutivas. A excepción de la opción “Abrir la mano”, el problema de la política de juego óptima no presenta ambigüedades, y puede ser planteado como un Proceso de Decision de Markov (PDM) donde el jugador busca maximizar el retorno esperado de la ronda. El cómputo de dicha estrategia óptima se puede realizar a través de programación dinámica, como se mostró en el trabajo “Las Matemáticas del Blackjack”, realizado por Ricardo E. Peytaví. Sin embargo, el autor destaca que el código propuesto en su trabajo presenta elevados costos computacionales. En el presente trabajo se optimiza el algoritmo de optimización, evitando realizar cálculos repetidos y utilizando relaciones recursivas convenientes, logrando encontrar la estrategia de juego óptima y la Función de Masa de Probabilidad (FMP) del retorno de una ronda en menos de un segundo. El problema de optimización de la política de apuestas es considerablemente más complejo. En contraste con la política de juego, la política de apuestas óptima dependerá del problema de optimización planteado, según las inclinaciones e intereses propios del apostador, y según la cantidad de rondas a apostar consideradas. En el presente trabajo se modeló por completo el problema como un PDM, describiendo el estado del apostador, la función de transición y una función de recompensa coherente con principios económicos. La solución general del problema debe ser abordada mediante redes neuronales por refuerzo, debido a la complejidad del problema. Sin embargo, se ha encontrado una solución al problema bajo ciertas simplificaciones, permitiendo desarrollar matemática y computacionalmente la forma exacta de una estrategia de apuestas óptima simplificada. A partir de la FMP del retorno por ronda y de la estrategia de apuestas óptima simplificada, se procedió a explorar el comportamiento de 4 estrategias de apuestas diferentes, modeladas a través de formas algebraicas con parámetros libres. Dichos parámetros fueron optimizados con el fin de maximizar la mediana de los retornos para el jugador, a través de miles de rondas simuladas consecutivamente a partir de la FMP asociada a cada ronda. Este procedimiento concluyó con 4 modelos optimizados para 4 problemas de optimización distintos, obteniendo finalmente la distribución del retorno lograda por cada uno de los modelos. El desarrollo de esta investigación representa un avance significativo en la solución del problema del apostador de Blackjack, así como en el ámbito de la optimización de la gestión de portafolios. El modelamiento matemático propuesto en este estudio es directamente aplicable a la gestión de trading, lo que sugiere que la solución general del Blackjack podría resultar de gran utilidad para la resolución del problema de optimización de portafolios.