Extreme statistics for two models in the KPZ universality class

Abstract

The KPZ universality class corresponds to a collection of stochastic processes identified mainly by fluctuations growing as t1/3 with a nontrivial spatial structure at the scale of t2/3. The objects of study of this thesis are two models related to the KPZ universality class: non-intersecting Brownian bridges and the polynuclear growth (PNG) model. For N non-intersecting Brownian bridges we study the distribution of the maximum height of the upper path restricted to [0, p] denoted by MN (p). We show how MN (p) converges to a specific distribution as p approaches to zero and how this behavior is linked to a particular random matrix ensemble. On the other hand, for the PNG model with a narrow wedge initial condition we study the joint distribution of the maximum path height and the rightmost location at which this maximum is reached. We derive a formula for the joint density function and provide an estimate for the tails.

La clase de universalidad KPZ corresponde a una colección de procesos estocásticos identificados principalmente por fluctuaciones que crecen como t 1/3 con una estructura espacial no trivial en la escala de t 2/3 . Los objetos de estudio de esta tesis son dos modelos relacionados con la clase de universalidad KPZ: el modelo de puentes brownianos no intersectantes y el modelo de crecimiento polinuclear (PNG por sus siglas en inglés). Para N puentes brownianos no intersectantes estudiamos la distribución de la altura máxima de la trayectoria superior restringida a [0, p] denotada por MN (p). Mostramos cómo MN (p) converge a una distribución específica a medida que p tiende a cero y que este comportamiento está vinculado a una familia particular de matrices aleatorias. Por otro lado, para el modelo PNG con una condición inicial narrow wedge, estudiamos la distribución conjunta de la altura máxima de la trayectoria y la posición de más a la derecha en la que se alcanza este máximo. Derivamos una fórmula para la función de densidad conjunta y proporcionamos una estimación para las colas.