Efectos de la direccionalidad en el movimiento de estados quimera de Kuramoto-Sakaguchi

Abstract

Este trabajo presenta un estudio teórico y numérico sobre el efecto de la direccionalidad espacial en la interacción entre pares de osciladores en el modelo de Kuramoto-Sakaguchi, y su impacto colectivo en los estados de sincronización. Se mostrará que dichos efectos son visibles incluso para un sistema finito de interacciones sociales que describe la sincronización del público en conciertos de música en vivo, evidenciando que las asimetrías en el acoplamiento entre individuos dan lugar a movimientos espaciales de los estados sincronizados y desincronizados.

Para describir detalladamente la velocidad de este movimiento se realizará un análisis perturbativo a la ecuación de Ott-Antonsen, la cual facilita el análisis de la sincronización mediante un enfoque directo en la evolución del parámetro de orden del sistema en el límite contínuo y de infinitos osciladores. En particular, se pondrá énfasis en la dependencia de los parámetros de asimetría y desfase sobre la velocidad colectiva de los estados quimera (estados donde la sincronización y desincronización coexisten simultáneamente en diversas regiones del espacio), verificando que para una función de acoplamiento cosenoidal positiva la velocidad aumenta linealmente con el parámetro de asimetría (tal como señalan resultados de estudios previos) y crece polinomialmente con el parámetro de desfase. Además, la metodología propuesta permite predecir teóricamente esta dependencia para cualquier combinación de los parámetros del modelo a partir de un número finito de simulaciones del sistema.

Posteriormente se estudiará cómo la consideración de interacciones perturbativas de orden superior a las soluciones de quimeras diádicas (la interacción entre osciladores es ``de a pares'') puede afectar el movimiento espacial de estos estados, demostrando que las interacciones entre grupos impares de osciladores (tríos, quintetos, etc.) solo modifica la frecuencia angular del estado y no su velocidad, mientras que las interacciones entre grupos pares (cuartetos, sextetos, etc.) sí afecta tanto la frecuencia como velocidad, lo que permite controlar a voluntad el movimiento del estado mediante la correcta elección de la intensidad perturbativa y el desfase entre dichos grupos.

Por último, se intentará describir el efecto de la interacción perturbativa entre estados quimera de dos comunidades de osciladores, cada una caracterizada por su propia asimetría de acoplamiento y desfase. Se mostrará que, pese a ser perturbativa, esta interacción es compleja y puede evidenciar propiedades de conservación global de velocidad y frecuencia dependiendo de la simetría en el acoplamiento entre comunidades, impidiendo así la descripción teórica de estos efectos mediante la consideración por separado de las soluciones para cada comunidad y planteando una interesante rama de estudio para la continuación de esta investigación.