Aproximación de funciones de probabilidad y aplicaciones a problemas con restricciones probabilísticas

Abstract

En este trabajo se estudia principalmente un objeto de la optimización estocástica llamado restricción de probabilidad, el cual sirve para modelar distintos de problemas de optimización como por ejemplo, el problema de generación de energía, el cual, está sujeto a incertidumbre proveniente de variables climáticas, posibles fallas en plantas de generación de energía, etc. En el capítulo 1 se definirá lo que es una restricción de probabilidad y lo que enmarca esta área de trabajo, así como también se dará motivación para estudiar este tópico. En el capítulo 2 se entregan definiciones y propiedades de distintas áreas de las matemáticas para dar contexto al trabajo realizado. Luego, en el capítulo 3 se estudiará una condición suficiente para aproximar la función de probabilidad φ (que surge de una restricción de probabilidad) a través de su función interna g, con el objetivo de obtener alternativas a la hora de calcular φ. La condición será que, para una función g continua, y convexa en la variable en la que recaerá la incertidumbre, basta encontrar una sucesión de funciones gk que sea creciente a g para poder aproximar satisfactoriamente problemas de optimización con una restricción de probabilidad asociada a g. En el desarrollo, en la sección 3.1 se demostrarán propiedades de convergencia cuando se tiene como hipótesis la convergencia puntual y creciente de una sucesión de funciones gk a la función de interés g, para luego en la sección 3.2 demostrar propiedades de convergencia de funciones de probabilidad φk (asociadas a gk) a la función de probabilidad de interés φ (asociada a g). En la sección 3.3 se demostrarán propiedades de convergencia de problemas de optimización con la restricción de probabilidad de φk, hacia el problema de optimización con la restricción de probabilidad de φ. También, en las secciones 3.5 y 3.6 se entregarán fórmulas para el gradiente (o subgradiente) de las funciones asociadas, el cual siempre es de interés a la hora de optimizar Por último, en el capítulo 4 se presenta un método de empaquetamiento que cumple con las hipótesis de convergencia y se muestran resultados de la implementación numérica del método para distintos ejemplos.