Independencia y tameness desde una perspectiva de los nilsistemas

Abstract

La introducción en los años 60 de la noción de semigrupo envolvente es quizás uno de los hitos más importantes y fructíferos en el campo de la dinámica topológica. Además de la profunda conexión entre las propiedades algebraicas y topológicas de este objeto con las propiedades dinámicas de un sistema, el semigrupo envolvente de un sistema dinámico presenta una peculiar y sorprendente dicotomía: o bien es de cardinalidad razonablemente pequeña y topológicamente simple, o bien es colosal y su estructura patológicamente complicada. Este trabajo aborda los sistemas tame, que son aquellos cuyo semigrupo envolvente cae en la primera categoría.

Tanto las propiedades dinámicas como la estructura más fina de los sistemas pertenecientes a esta familia son a día de hoy comprendidas. Así y todo, a la vez se ha revelado que la comprensión de estos sistemas está inextricablemente ligada a profundos resultados en remotas áreas de las matemáticas, que muchas veces oscurecen la propiedad misma de ser tame. Esto motiva nuestro principal objetivo en este trabajo; entender propiamente los sistemas tame y desenredar la teoría que permite estudiarlos.

Para esto, concentramos inicialmente nuestros esfuerzos en generar un marco teórico completo. Posteriormente, revisamos minuciosamente los distintos esfuerzos que se han realizado para comprender la estructura de los sistemas tame. Principalmente, ahondamos en su faceta ligada al análisis funcional, desarrollando extensamente lo que llamaremos Teoría de Rosenthal, y en paralelo, exploramos el lado combinatorial de estos sistemas, mediante la noción de independencia dinámica, consolidando una teoría que unifica ambas corrientes. Cambiando de frente y buscando hacer más explícito el rol de la propiedad de ser tame en el estudio de su estructura, analizamos la dimensión tame de una familia particular de sistemas dinámicos; los nilsistemas. Aquí, recuperamos parte de los resultados de estructura clásicos de sistemas tame para sistemas de orden $d\geq 1$ y orden $\infty$. Esto se realiza a través del estudio de sus semigrupos envolventes, donde ahora la propiedad de ser tame se manifiesta de manera más plena. Finalmente, examinamos con detenimiento la interacción entre estas dos familias de sistemas, aprovechándonos en particular del rol que juega la independencia dinámica en ambas clases para producir ejemplos.