Estabilidad cuantitativa de los minimizantes de Yamabe con borde

Abstract

Esta tesis explora la interacción entre las ecuaciones en derivadas parciales y la geometría Rieman niana, con énfasis en el estudio del problema de Yamabe (con y sin borde), las desigualdades de Sobolev y la estabilidad de desigualdades funcionales. Tras una revisión exhaustiva de la literatura relevante, se presenta un compendio preliminar de resultados clave que sirve como base teórica para el lector. El trabajo se centra en el concepto de estabilidad cuantitativa, analizando su papel en el análisis geométrico y su relación con transformaciones conformes y estructuras métricas. Mediante la adaptación de la técnica de reducción de Lyapunov-Schmidt, se examina la estabi lidad de los minimizantes del problema de Yamabe, siguiendo como guía un artículo central en la temática. Se considera además la tricotomía de métricas en el estudio de la estabilidad: nodegene rancia, integrabilidad y no integrabilidad. Aunque no se logran resultados concluyentes al intentar extender la nodegenerancia genérica al caso con borde, se profundiza en ejemplos de minimizantes nointegrables, destacando la utilidad de la condición de positividad de Adams-Simon para construir casos explícitos. El trabajo concluye con una reflexión sobre los aportes realizados y posibles líneas de investigación futura.