Computing shintani fundamental domains

Abstract

Sea k un cuerpo de n umeros de grado n = r1 + 2r2 teniendo r1 incrustaciones reales y r2 pares de incrustaciones complejas. Sea G E+ cualquier subgrupo de ndice nito del grupo E+ de las unidades totalmente positivas de k, as G act ua en Rr1 + (C )r2 , donde R+ denote los n umeros reales positivos y C los n umeros complejos no nulos. Diaz y Diaz, Espinoza y Friedman introdujeron la noci on de dominio fundamental con signo y han dado un algoritmo para determinarlo expl citamente desde un conjunto de generadores de G si k no es totalmente complejo (es decir, r1 > 0). Su dominio fundamental con signo consiste de a lo m as (n ����� 1)!3r2 conos poli edricos k-racionales. Aqu damos un algoritmo para extraer un dominio fundamental F desde un dominio fundamental con signo. Tal F es de nuevo una uni on nita de conos poli edricos k-racionales. Excepto para cuerpos cuadr aticos y c ubicos ambos totalmente reales, un tal algoritmo no era conocido previamente. Aunque nuestro algoritmo es te oricamente bastante lento debido a la gran cantidad de conos involucrados, en la pr actica funciona bien si el grado del cuerpo es menor que seis. Tambi en, para cuerpos s exticos totalmente reales nuestro algoritmo es a veces exitoso.

Let k be a number eld of degree n = r1 + 2r2 having r1 real embeddings and r2 pairs of complex conjugate embeddings. Let G E+ be any subgroup of nite index of the group E+ of totally positive units of k, so that G acts on Rr1 + (C )r2 , where R+ denotes the positive real numbers and C the non-zero complex numbers. Diaz y Diaz, Espinoza and Friedman introduced the notion of signed fundamental domain and gave an algorithm to determine these explicitly from a given set of generators of G if k is not totally complex (i.e., r1 > 0). Their signed fundamental domain consists of at most (n ����� 1)!3r2 k-rational polyhedral cones. Here we give an algorithm to extract a true fundamental domain F from such a signed fundamental domain. Here again, F is a nite union of k-rational polyhedral cones. Except for totally real quadratic and cubic elds, no such algorithm was previously known. Although our algorithm is theoretically rather slow due to the great number of cones involved, in practice it works well if the degree of the number eld is at most ve. Also, for totally real sextic elds our algorithm is sometimes successful.