Quotients of the Bruhat-Tits tree by function field analogs of the Hecke congruence subgroups

Abstract

Sea C una curva projectiva, suave y geom´etricamente conexa definida sobre un cuerpo finito F. Para cada punto cerrado P8 de C, sea R el anillo de funciones que son regulares fuera de P8, y sea K la completacion en P8 del cuerpo de funciones de C. Con el objetivo de estudiar grupos de la forma GL2pRq, Serre describe en [Se80, Chapter II] el grafo cociente GL2pRqzt, donde t es el ´arbol de Bruhat-Tits definido a partir de SL2pKq. En particular, Serre demuestra que GL2pRqzt es la union de un grafo finito con un n´umero finito de subgrafos con forma de rayo, llamados c´uspides. No es dificil ver que esta propiedad es heredada por subgrupos de ´ındice finito. En este trabajo describimos el grafo cociente Hzt asociado a la acci´on sobre t del grupo H “ !ˆ a b c d ˙ P GL2pRq : c ” 0 pmod Iq ) , donde I es un ideal de R. M´as espec´ıficamente, damos una f´ormula expl´ıcita para el n´umero de c´uspides de Hzt. Luego, usando la teor´ıa de Bass-Serre, describimos la estructura combinatorial de H. Estos grupos juegan, en el contexto de cuerpos de funciones, el mismo rol que los subgrupos de congruencia de Hecke de SL2pZq. Los grupos estudiados por Serre corresponden al caso donde el ideal I coincide con el anillo R.

Let C be a smooth, projective and geometrically connected curve defined over a finite field F. For each closed point P8 of C, let R be the ring of functions that are regular outside P8, and let K be the completion at P8 of the function field of C. In order to study groups of the form GL2pRq, Serre describes in [Se80, Chapter II] the quotient graph GL2pRqzt, where t is the Bruhat-Tits tree defined from SL2pKq. In particular, Serre shows that GL2pRqzt is the union of a finite graph and a finite number of ray shaped subgraphs, which are called cusps. It is not hard to see that finite index subgroups inherit this property. In this work we describe the associated quotient graph Hzt for the action on t of the group H “ !ˆ a b c d ˙ P GL2pRq : c ” 0 pmod Iq ) , where I is an ideal of R. More specifically, we give a explicit formula for the cusp number of Hzt. Then, by using Bass-Serre Theory, we describe the combinatorial structure of H. These groups play, in the function field context, the same role as the Hecke congruence subgroups of SL2pZq. The groups studied by Serre correspond to the case where the ideal I coincides with the ring R.