Algunos aspectos de la dinámica de la funciones racionales Z → 1 + 1/ῳzd

Abstract

Se estudia algunos aspectos de la dinámica en la esfera de Riemann O : OU {co} generada por las aplicaciones racionales en las familias ?¿ :: {z ¡--+ 1 l llu::d : ,,: € O\{0}} con d€lN, d>2. En e1 capítu1o 0 se da las definicioles básicas y se resumen uua serie de conceptos y resultados necesarios para el desarrollo de los capítulos posteriores. En el capítulo 1 se prueba que los endomorfismos racionales z ,-- f -(z) : lll l"::d (con *,€ 0\{O} "t d e lN. d > 2) no tienen alillos de Hernran . A partir de esto se obtiene una ca¡acterización dinámica del conjunto de ]landelbrot de f¿. )l(F¡). para todo d > 2. Se define las componentes hiperbóiicas de fa f' se estudia su relación col el conjunto de \'Iandelbrot. Lr:ego se le como varÍa el conjulto de Fatou de f- cuando (, recorre Ia frontera dl,I(F¿).Se continúa con una reducción de Ia conjetura de Ia hiperbolicidad a otra coujetura más simple. Se demuestra que ei conjunto de parámetros parabólicos es numerable. Finahleute. se prueba que las clases de conjugación cuasiconforme en la familia .F¿ son o bien un abie¡to arco -conexo de C o bien se reducen a un punto. En el capítulo 2 se estudia la subfamilia de fa que se obtiene cuando restringinros el parámetro o' a lR. Se prueba que eu este caso existen tres posibilidades pala .f.: C - 0 : que tenga una órbita periódica atractora contenida en lR ,= lR U {:c}. que tenga una órbita periódica racionalmente indiferente coutenicla en lR. r' que r.l conjunto de Julia de /. sea toda la esfera C. Se analiza la dinámica de l- : lR - lR y las bifurcaciones que se producen cuando c..r varía en lR. Para el caso en que d es par se prueba que existe una sucesión de duplicación de períodos. y se entrega una ¡educción de la conjetura de la hiperbolicidad para parámetros reales. Finalmente. si d es impar se prueba (entre otras cosas) que el conjunto {cu € lR : I tiene una ór'bita periódica atractora ) es denso en lR. Es decir, se prueba la conjetura de Ia hiperbolicidad para este caso particular.

We study sone aspects of the dynamics on the Riemann sphere 0 - 0 U {m} generated by the rational maps of the family f¿ :: {z ; I ! 1f azd : c", € O\i0}} for d€ Nl, d>2. In Chapter 0 rve give the basic definitions as r¡'ell as summarize various fundamental concepts and results which wiil be needed in the following Chapters. In Chapter I we prove that the rational endomorphisms z r--» f-(z) : 1¡ \f ,,:zd (where u e O\{0} and d € t\, d > 2) have no Herman rings. From this we are able to obtain a dynamical characterization for the pararneters in the N'landelbrot set associated to f¿. denoted M(fa), for all d > 2. Furthermore, ue define the hvperbolic corrponents of f¿ and investigate the relation of these lith tlre ['fandelbrot ser M(Fd). Afielrvards, rve exarnine holr- the Fatou set of /. r'aries as o varies in the boundary 1M(F¿) of the N4andelbrot set. Then u,e give an argument s'hich allou,s us to reduce the dense hyperbolicity conjecture of the famill. ?¿ lo a seemirtgl¡' rnore tractable conjectural statenent. In addition, u'e prove tirat the set of parabolic parameters of the family f¿ is countable. Fiuall¡'. l'e prove that each tluasiconfolmal conjugacv class of ñ is either a path-counected open subset of O or is just a point. This closes Chapter 1. In Chapter 2. u'e stud¡, the subfamily of f¿ rvhich is obtained rlhe¡ ue restrict our attention to those values of ,¿ rvhich are real. \\G establish tltat in this case there arp llrree possibi)iries {or f- : C -.. Ó. nanlell: /- rnal have an attracrirg periodi. orbit contained in lR :: lR U {co}; /,, mav irave a periodic orbit rvhich is rationalll' indifferent and §'hich is fully contained in lR: or, it mav occur that the Julia set of I is all of C. \\e analvze the d5'nanr.ics of f : R --- R and rhe bifulcations rhat arise s'hen c¿ r'aries in lR. ln the case that d is even, \r,e prove that there erists a sequence of period doubling- and we furtherniore gir.e an argunteut that allou's us to reduce the dense h¡'perboücit¡: conjecture of real parameters to ar) apparentll' simpler conjectural statement. Finall¡.. if d is odd. we prove (among others things) that the set {r.,l € R : /, has an attracting periodic orbit } is dense in lR. That is to sar.. rve manage to prove the dense hyperbolicity conjecture in this particular case.