Teoría espectral y estructura algebraica en la dinámica no autónoma

Abstract

Comenzamos realizando una revisión exhaustiva de la literatura existente sobre la linealización autónoma mediante autovalores no resonantes y la teoría de la dicotomía exponencial. Revelamos casos en los que los sistemas lineales no autónomos manifiestan espectros de µ-dicotomía no uniforme distintos, a pesar de admitir una similitud cinemática no uniforme (µ, ε). Al explorar los fundamentos de esta falta de invariancia, discernimos la influencia de los parámetros involucrados en la propiedad de µ-dicotomía no uniforme, como en la noción de similitud cinemática no uniforme (µ, ε). Para comprender estas dinámicas, introducimos los mapas de razón óptima estables e inestables, junto con la ε-vecindad del espectro de µ-dicotomía no uniforme. Estos nuevos conceptos proporcionan un marco para entender escenarios regidos por la no invariancia del espectro de µ-dicotomía no uniforme. Posteriormente, establecemos un teorema de eliminación de términos no resonantes en el contexto de dicotomías generales dadas por tasas de crecimiento, lo cual constituye una generalización consistente de resultados previos. Estas técnicas permiten un teorema de formas normales, incluso cuando la parte lineal no presenta dicotomía exponencial o cuando los componentes no lineales son no acotados. Finalmente, extendemos las nociones de dinámica no autonomía a grupos arbitrarios, mediante morfismos de groupoides. Esto también representa una generalización de los sistemas dinámicos clásicos y las acciones de grupos. Introducimos la estructura de cotraslaciones, como un tipo de morfismo de groupoide, y establecemos una correspondencia entre cotraslaciones y skew-products. Damos aplicaciones de las cotraslaciones a ecuaciones no autónomas, tanto en diferencias como diferenciales. También proporcionamos varios otros ejemplos sobre diferentes grupos.

We begin by going through a comprehensive review of the existing literature in autonomous linearization through nonresonant eigenvalues and the theory of exponential dichotomy. We unveil instances where nonautonomous linear systems manifest distinct nonuniform µ-dichotomy spectra despite admitting nonuniform (µ, ε)-kinematic similarity. Exploring the theoretical foundations of this lack of invariance, we discern the pivotal influence of the parameters involved in the property of nonuniform µ-dichotomy such as in the notion of nonuniform (µ, ε)-kinematic similarity. To effectively comprehend these dynamics, we introduce the stable and unstable optimal ratio maps, along with the ε-neighborhood of the nonuniform µ-dichotomy spectrum. These new concepts provide a framework for understanding scenarios governed by the noninvariance of the nonuniform µ-dichotomy spectrum. Subsequently, we establish a theorem of elimination of nonresonant terms in the context of general dichotomies given by growth rates, which is a consistent generalization of previously known results. These techniques allow for a normal form theorem, even when the linear part does not present exponential dichotomy or when the nonlinear components are unbounded Finally, we extend the notions of nonautonomous dynamics to arbitrary groups, through groupoid morphisms. This also presents a generalization of classic dynamical systems and group actions. We introduce the structure of cotranslations, as a specific kind of groupoid morphism, and establish a correspondence between cotranslations and skew-products. We give applications of cotranslations to nonautonomous equations, both in differences and differential. We also give several other examples on different groups.