Continuous eigenvalues for repetitive Meyer systems

Abstract

Esta tesis doctoral realiza una contribución al estudio de valores propios para sistemas dinámicos asociados a algunos conjuntos discretos y repetitivos en R d : Delone, Meyer, inter- model y model. Específicamente, el teorema principal en el Capítulo 3 (Teorema A), da una caracterización de los conjuntos inter-model con espacio interno Euclidiano. Esta caracter- ización es similar a los resultados previos obtenidos independientemente por Baake, Lenz y Moody, y Aujogue, pero con una condición adicional escrita en términos de la address map in- troducida por Lagarias. Usando nuestra caracterización y la caracterización dada por Baake, Lenz y Moody en [BLM07, Theorem 5], obtenemos como un corolario una caracterización para conjuntos model regulares con espacio interno Euclidiano (ver Teorema B). También como un corolario de nuestra caracterización, es posible dar una para conjuntos inter-model regulares con espacio interno Euclidiano en términos de una ventana minimal (Teorema C). Para un conjunto de Delone finitamente generado de R d , podemos asociar una función coordenada llamada address map [L99]. Usaremos esta para construir un morfismo equicon- tinuo del sistema dinámico asociado a un conjunto de Meyer repetitivo. Esta construcción aparece en la demostración de la Proposición A. Por [KS14, Theorem 1.3], sabemos que el sistema dinámico asociado a un conjunto de Meyer repetitivo en R d tiene d valores propios continuos. Nuestra construcción de un morfismo equicontinuo para este sistema dinámico, nos da un método para encontrar al menos d valores propios continuos para el sistema dinámico asociado a un conjunto de Meyer repetitivo. El Capítulo 4 se refiere a sistemas dinámicos para un conjunto de Meyer linealmente repetitivo. En [So99], B. Solomyak probó que para un conjunto de Delone construido a partir de una substitución auto-afine con algunas propiedades adicionales, su sistema dinámico tiene solo valores propios continuos. Para conjuntos de Meyer linealmente repetitivos el principal resultado del Capítulo 4, Teorema D, da una condición suficiente para que su sistema dinámico tenga solo valores propios continuos. Esta condición es sobre la estructura algebraica de los vectores de retorno y algunas de sus propiedades combinatorias. Similarmente a Lagarias en [L99], usamos secuencias casi-lineales para construir conjuntos de Meyer en la recta real. Mediante la Proposición A, mostramos un conjunto de Meyer en la recta real con dos valores propios continuos racionalmente independientes. También veremos ejemplos para chequear que algunas hipótesis en el Teorema D son necesarias.