An Inverse problem in fluid mechanics applied in biomedicine

Abstract

En esta tesis se presentan nuevos avances en problemas inversos de Mecánica de Fluidos en estado estacionario, con aplicaciones directas en la recuperación de deformaciones de dominio y obstáculos, y cuyo propósito es contribuir a la detección de afecciones de la válvula aórtica (como insuficiencia o estenosis). Como primer resultado de esta tesis, se presenta un resultado de aproximación asintótica entre los problemas de detección de obstáculos y de recuperación de un parámetro de permeabilidad no negativo que asume valores significativamente grandes en las regiones con obstáculos o el valor 0 en otras partes. Este resultado es respaldado con pruebas numéricas que confirman el resultado de aproximación. El segundo resultado de esta tesis presenta una desigualdad logarítmica para el problema de identificación del parámetro de permeabilidad en la ecuación de Navier-Stokes a partir de mediciones locales de la velocidad del fluido. Se incluyen también pruebas numéricas sobre la recuperación de parámetros suaves y no suaves mediante algoritmos de minimización y de refinamiento adaptativo. Finalmente, se estudia un problema de identificación de parámetros para las ecuaciones de Oseen y Navier-Stokes que permite recuperar un parámetro de permeabilidad a partir de mediciones locales o globales de la velocidad de un fluido. Varios experimentos numéricos con flujo de Navier-Stokes ilustran la aplicabilidad del método, para la localización de una válvula cardíaca 2D simulada a partir de una resonancia magnética sintética en 2D y también para la recuperación del parámetro de permeabilidad a partir de una resonancia magnética sintética en 3D.