Estudio del subdiferencial de funciones integrales convexas sobre espacios de funciones continuas

Abstract

Las funciones integrales aparecen en diversas áreas de las matemáticas, principalmente en el área de optimización y equilibrio, donde generalmente las funciones objetivos de los problemas de cálculo de variaciones y de control óptimo son funciones integrales definidas sobre espacios de funciones continuas, y, en el caso convexo no diferenciable, se suele trabajar con los subdiferenciales para buscar los óptimos. Considerando esto, en este trabajo se estudiará el subdiferencial de las funciones integrales, en el caso convexo y sobre el espacio de las funciones continuas. En específico, se estudiarán dos métodos, un primer método basado en el uso de conjugadas de Fenchel, donde se estudiarán tres casos dependiendo del espacio sobre el que actúan las funciones integrales, primero el caso de espacios descomponibles, en segundo lugar el caso del espacio L1 y se finaliza con el caso del espacio de funciones continuas; y un segundo método basado en una fórmula del tipo Hiriart-Urruty-Phelps para el subdiferencial de la suma, donde se estudiará primero el caso en que las funciones integrales actúan sobre espacios constantes de dimensión finita, lo cual luego se generaliza a espacios de dimensiones infinitas a partir de un teorema de extensiones de Hahn-Banach medibles que se propone, y se finaliza al aplicar los resultados anteriores al caso del espacio de funciones continuas. Finalmente, se realiza un análisis de resultados, revisando las hipótesis, resultados y las distintas técnicas usadas en cada método, además de comparar ambos métodos, y luego se exponen los tres puntos principales del trabajo, que corresponden en primer lugar a la recopilación de todos los antecedentes sobre el tema tratado en un único documento, en segundo lugar a la presentación y desarrollo de los dos métodos mencionados, y como tercer y último punto, que las técnicas y resultados intermedios presentados quedarán disponibles para trabajos futuros.