Existence and asymptotic behavior of solutions to semilinear elliptic problems via reduction methods

Abstract

Este trabajo se concentra principalmente en estudiar el método de reducción de Lyapunov-Schmidt y sus aplicaciones al estudio de existencia de soluciones a problemas semilineales elípticos. En particular, utilizamos exitosamente este método para estudiar la ecuación de Allen-Cahn \Delta u + u(1-u^2)=0, en R^N en diferentes contextos. La geometría de los conjuntos de nivel de soluciones enteras de esta ecuación, presenta una estructura variada y compleja. En particular, esta ecuación esta presente en la famosa conjetura de E. De Giorgi, la cual afirma que si la dimensión del espacio es tal que 2\leq N\leq 8, las soluciones acotadas de esta ecuación que son monótonas en una dirección, tienen por conjuntos nivel a una familia de hiperplanos paralelos entre si, es decir, la solución depende solo de una variable. Gran progreso se ha alcanzado en la demostración de esta conjetura durante las \'ultimas décadas. La monotonía de las soluciones esta relacionada con sus propiedades de estabilidad. En el programa de entender el conjunto de soluciones enteras de esta ecuación, es interesante estudiar soluciones que tienes índice de Morse finito, de las cuales para nuestro conocimiento, pocos ejemplos se conocen hasta ahora. En la primera parte de esta investigación, utilizamos el método de reducción, en esencia no variacional, para construir una familia de soluciones acotadas axialmente simétricas a la ecuación de Allen-Cahn en R3, con la propiedad de tener múltiples transiciones sobre una dilatación grande de una catenoide. De nuestro desarrollo, se evidencia contundentemente que estas soluciones tienen indice de Morse grande a medida que la catenoide se vuelve más y más dilatada. Motivados por este descubrimiento y utilizando el mismo método, continuamos este trabajo construyendo una nueva familia de soluciones axialmente simétricas a la ecuación de Allen-Cahn en R3, cuyo conjunto nodal consiste en dos componentes conexas que provienen del grafo y su reflexión respecto al eje z, de una solución suave y radialmente simétrica de la ecuación de Liouville en R2. De igual forma, encontramos fuerte evidencia para afirmar que el índice de Morse de esta familia de soluciones es finito. Luego, presentamos el estudio de la ecuación no homogénea de Allen-Cahn en R2, en la cual presentamos otra aplicación del método reducción construyendo, bajo ciertas condiciones geométricas, una familia de soluciones cuyos conjuntos nodales, fuera de una bola grande de R2, tienen dos componentes conexas que son asintóticamente semirrectas no paralelas entre si. Finalmente, y en contraste, consideramos el contexto variacional presentando resultados de existencia de múltiples soluciones para un sistema elíptico de ecuaciones con un acoplamiento simétrico. La aplicación del método de reducción variacional, permite luego aplicar de forma clásica el teorema de paso de montaña simétrico. La importancia del método de reducción, en este caso, radica en que las propiedades de simetría del sistema de ecuaciones, las cuales provienen de la forma del sistema, en lugar de las no linealidades, son heredadas por ecuación reducida.