Formule d’Itô pour des diffusions uniformément elliptiques, et processus de Dirichlet

Abstract

Soit X une diffusion uniformément elliptique sur Rd, F une fonction dans H1 loc(Rd ) et ν la loi initiale de la diffusion. On montre que si l’intégrale

|∇F|2(x)Uν(x) dx est finie, où Uν désigne le potentiel de la mesure ν, alors F(X) est un processus de Dirichlet. Si de plus, F appartient à H2 loc(Rd ) et si les intégrales

|∇F|2(x)Uν(x) dx et

|∇fk |2(x)Uν(x) dx sont finies, pour les dérivées faibles fk de F, alors on peut écrire une formule d’Itô. En particulier, on définit l’intégrale progressive

∇F(X) dX et on prouve l’existence des covariations quadratiques [fk(X),Xk].