Contributions to ergodic theory and topological dynamics: cube structures and automorphisms

Abstract

Esta tesis está consagrada al estudio de diferentes problemas en teoría ergódica y dinámica topológica, relacionados a "estructuras de cubos". Consta de seis capítulos. En la presentación general entregamos resultados generales, ligados en cierta manera a las estructuras de cubos que motivan esta tesis. Comenzamos por las estructuras de cubos introducidas en teoría ergódica por Host y Kra para probar la convergencia en L^2 de medias ergódicas múltiples. Luego presentamos su extensión a dinámica topológica, desarrollada por Host, Kra y Maass (2010), que entrega herramientas para entender la estructura topológica de sistemas dinámicos topológicos. Finalmente, mostramos las implicancias y extensiones principales derivadas de estudiar estas estructuras, motivamos los nuevos objetos introducidos en esta tesis y bosquejamos nuestras contribuciones. En el Capítulo 1, entregamos antecedes generales en teoría ergódica y dinámica topológica, dando énfasis al estudio de ciertos factores especiales. Desde el Capítulo 2 al Capítulo 5 desarrollamos las contribuciones de esta tesis. Cada uno está consagrado a un tópico diferente y a sus problemáticas relacionadas, tanto en teoría ergódica como en dinámica topológica. Cada uno está asociado a un artículo científico. En el Capítulo 2 introducimos una nueva estructura de cubos para estudiar la acción de dos transformaciones S y T que conmutan, sobre un espacio métrico compacto X. En el mismo capítulo estudiamos las propiedades topológicas y dinámicas de tales estructuras y las usamos para caracterizar productos de sistemas y sus factores. También damos algunas aplicaciones, como la construcción de factores especiales. En el mismo tema, en el Capítulo 3 usamos esta nueva estructura para probar la convergencia casi segura de una media cúbica en un sistema con dos transformaciones que conmutan. En el Capítulo 4, estudiamos el semigrupo envolvente de una clase importante de sistemas dinámicos, los nilsistemas. Usamos estructuras de cubos para mostrar relaciones entre propiedades algebraicas del semigrupo envolvente con la geometría y dinámica de un sistema. En particular, caracterizamos nilsistemas de orden 2 vía el semigrupo envolvente. En el Capítulo 5 estudiamos grupos de automorfismos de sistemas simbólicos uno y dos dimensionales. Primero consideramos sistemas simbólicos de baja complejidad y usamos factores especiales, algunos ligados a estructuras de cubos, para estudiar el grupo de automorfismos. Nuestro resultado principal establece que en sistemas minimales de complejidad sublineal, tales grupos son generados por el shift y un conjunto finito. También, usando factores asociados a las estructuras de cubos del Capítulo 2, estudiamos el grupo de automorfismos de un sistema de embaldosados representativo. Las referencias bibliográficas aparecen al final del documento.