Contribution to inverse problems and controllability issues of hyperbolic and parabolic partial diferential equations

Abstract

El objetivo de esta tesis consiste principalmente en el estudio teórico de algunos resultados de problemas inversos y de controlabilidad en ecuaciones hiperbólicas y parabólicas. En el Capítulo 1 presentamos una breve introducción de los tópicos tratados en este trabajo. Principalmente, centramos nuestra atención en las de niciones clásicas de controlabilidad y problemas inversos. Posteriormente, indicamos cuáles son los resultados generales obtenidos en esta tesis. En el Capítulo 2, describimos los resultados de estabilidad obtenida para la reconstrucci ón de potenciales en un sistema de ecuaciones hiperbólicas acopladas en cascada. Para probar este resultado, nos inspiramos en el método de Bukhgeim-Klibanov combinado con un tipo especial de desigualdades conocidas como estimaciones de Carleman. Estas dos herramientas, junto con el hecho que las ecuaciones del sistema están acopladas en cascada, nos permiten obtener un resultado de estabilidad Lipschitz para la recuperación de todos los potenciales del sistema utilizando mediciones de algunas componentes accesibles de él. En el Capítulo 3, nos centramos en el estudio de la controlabilidad a cero de una ecuación del calor con condiciones de borde dinámicas. Este problema se puede ver como una ecuación del calor acoplada con una ecuación diferencial ordinaria actuando en un extremo del borde. Nuestros resultados apuntan en dos direcciones. En primer lugar, probamos que este tipo de problemas se puede controlar a cero en una región que está lejos de la interacción entre las dos dinámicas. Usando la dualidad entre observabilidad y controlabilidad, la prueba de este resultado está basado en la construcción de una estimación de Carleman adecuada. En segundo lugar, probamos que una modi cación de este tipo de problemas puede ser visto como el problema límite de una familia de problemas parabólicos con coe cientes de difusión discontinuos en donde la difusión es muy alta en una parte del dominio. Adicionalmente, estudiamos el efecto que tiene el control del problema límite en la sucesión de problemas aproximados. Finalmente, en el Capítulo 4 desarrollamos una manera de obtener una estimación de tipo Carleman para una ecuación del calor con coe cientes de difusión discontinuos. La novedad en esta estrategia están basadas en las ideas del análisis microlocal desarrollado por L. Robbiano y J. Le Rousseau et al. para ecuaciones parabólicas, con la ventaja de que podemos obtener información de la constante de observabilidad.