Operadores no-expansivos y transporte óptimo: cadenas de Markov con curvatura de Ricci discreta nula

Abstract

En la presente memoria se revisan aspectos relativos al \textit{fen{\'o}meno de concentración de la medida}. En particular, se estudia la curvatura de Ricci discreta introducida por Yann Ollivier y su relación con la concentración de la medida. Nos interesamos al caso en que la curvatura de Ricci discreta es nula. Se define un operador $T_{m}$ que resulta ser no expansivo con respecto a la distancia de Wasserstein 1 cuando la curvatura de Ricci discreta es nula. En este contexto, se define una iteración de Krasnosel skii-Mann en el espacios de medidas con primer momento finito como: \begin{equation*} \mu_{n+1}=(1-\alpha_{n+1})\mu_{n}+\alpha_{n+1} T_{m}\mu_{n} \hspace{0.1cm} . \end{equation*} con $\mu_{0}$ una medida arbitraria y $\alpha_{n}\in (0,1)$. Se logra adaptar el Teorema 1.1 del art{\'i}culo \textit{Rates of Convergence for inexact Krasnosel'skii-Mann iterations in Banach spaces} al Teorema 3.3, que enuncia que si se cumple una condici{\'o}n d{\'e}bil $H_{0}^{ad}$, se obtiene la siguiente tasa de convergencia entre $\mu_{n}$ y los iterados $T_{m}\mu_{n}$: \begin{equation*} W_{1}(\mu_{n},T_{m}\mu_{n})\leq p \min\{1, \frac{1}{\sqrt{\pi \sum_{k=1}^{n} a_{k}(1-a_{k})}} \} \end{equation*} Se analizan diversos casos en los que la condici{\'o}n $H_{0}^{ad}$ se satisface. Adem{\'a}s, se obtiene un resultado (Teorema 3.6) que establece que la sucesi{\'o}n $\{\mu_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}$ definida mediante las iteraciones de Krasnosel'skii-Mann converge d{\'e}bilmente a una medida invariante para la cadena de Markov. Nuestro aporte es generalizar resultados de Krasnosel skii-Mann para espacios normados en espacios m{\'e}tricos con la distancia de Wasserstein 1 y derivar tasas de convergencia para cadenas de Markov con curvatura de Ricci discreta nula.