Approximation of the distribution of the sum of correlated random variables

Abstract

Al despachar vehículos de emergencia, es importante considerar no solo los tiempos esperados de los caminos por los que viajan, sino que también es relevante considerar la estructura que tienen estos caminos, ya que no es lo mismo calcular el valor esperado de una ruta con un intervalo de confianza mayor o menor. Para conocer la estructura de los caminos es interesante estudiar cómo obtener la distribución de los tiempos de viaje que constituye un camino, la idea es obtener esta distribución a través de la suma de las distribuciones de los arcos que lo componen, representándolo en un grafo dirigido, con sus respectivas correlaciones, dado que es un comportamiento mas realista que debe considerarse, como se observa en el trabajo de [13], las correlaciones mejoran el rendimiento para modelar el comportamiento de una ruta. Anteriormente, se estudió en [6] cómo aproximar la suma de variables aleatorias correlacionadas, mediante el uso de la función generadora de momentos en distribuciones lognormales, obteniendo buenos resultados, sin embargo, el desarrollo de esta herramienta está contenido en el mundo de distribuciones lognormal, es por ello que una nueva aplicación de esta idea se desarrolla aqui para aproximar la suma de variables aleatorias correlacionadas, en este contexto se estudia esta aplicación en distribuciones gamma. Esta nueva aplicación en distribuciones gamma se desarrolla utilizando datos simulados, donde se obtienen excelentes resultados, Este enfoque se desarrolla posteriormente mediante el uso de una estructura de datos reales. Como es posible que los datos reales no sigan una distribución gamma propiamente tal, se eligieron aquellos datos que mantienen la estructura deseada que se está desarrollando en el trabajo, suponiendo básicamente que se tiene un conjunto de datos reales que se distribuyen como queremos, es decir, una distribución gamma multivariada, esto permite verificar que teniendo una estructura real de datos que siguen una distribución gamma, entonces la forma de reconstruir la distribución de tiempos de viaje elaborada aquí es adecuada. Nuevamente se obtienen prometedores resultados. Finalmente, lo anterior conlleva a tener una herramienta disponible que, bajo ciertas condiciones muy generales, permite calcular la distribución de la suma de variables aleatorias correlacionadas de una manera funcionalmente muy efectiva. Como trabajo futuro, se recomienda comenzar a agregar aplicaciones de este trabajo con métricas de aversión al riesgo, lo que está en línea con las motivaciones iniciales del desarrollo de esto, lo que nos permitiría tener una visión más completa de la distribución de tiempo de viaje y avanzar su desarrollo a algo aplicable en la vida diaria.

When dispatching emergency vehicles, it is important to consider not only the expected times of the roads they travel, but it is also relevant to consider the structure that the roads have, since it is not the same to calculate the expected value of a path with a greater or shorter confidence interval. To know the structure of the paths it is interesting to study how to obtain the distribution of travel times that constitutes a path, this distribution is interesting to obtain through the sum of the edges that make up this path, when representing this structure in a graph, with their respective correlations since it is a natural behavior that must be considered to be more realistic, as we seen in the work of [13], correlations improve performance in order to model the behavior of a path. Previously, it was studied in [6] how to approximate the sum of correlated random variables through the use of the Moments Generating Function which was tested in log-normal distributions with good results, however the development of this interesting tool is contained in this world of log-normal distribution, that is why a new application of this idea is developed in this way to approximate the sum of correlated random variables, as long as it can be applicable in other contexts and applying it in gamma distributions, worked entirely in a first instance through simulations, for explanatory purposes of the generalization raised, obtaining excellent results. This approach is subsequently developed with gamma distributions through the use of a real data structure. As it is possible that the real data does not follow a gamma distribution, those that maintain the desired structure that is being developed at work were chosen, assuming basically having a set of real data that is distributed as we want, that is, a multivariate gamma distribution, this allows us to check if before a real structure of data that will not be exactly the distribution we want, rather roughly, this way of reconstructing the distribution is adequate. Here you also get excellent results. Finally, a tool is available that, under certain very general conditions, makes it possible to calculate the distribution of the sum of correlated random variables in a functionally very effective way. As a future work, it is recommended to start adding applications of this work with risk aversion metrics, which is in line with the initial motivations of the development of this tool, which would allow us to have a more complete vision of the distribution of the travel time.