Estudio de escalabilidad en reticulados periódicos

Abstract

El siguiente trabajo tiene por objetivo identificar el comportamiento de band gap en estructuras periódicas macroscópicas para diferentes escalas. Estas estructuras periódicas serán llamados reticulados periódicos y se trabajaran con dos tipos distintos, por una parte tenemos los enrejados (truss) compuestos por barras y por otro tenemos a los marcos (frames) constituidos por vigas. Para modelar los reticulados periodicos se introdujo la teoría de estructuras periódicas, la cual nos permite imponer la condición de borde de periodicidad en el espacio. Estos reticulados periódicos presentan propiedades que dependen de su configuración geométrica, la que será de gran interés para este trabajo consiste en la capacidad de estos materiales de generar un rango de frecuencia de aislación de vibraciones, denominado band gap, el cual será estudiado en este trabajo para reticulados de distintas dimensiones. Para estudiar lo que ocurre al escalar reticulados periódicos se eligen 4 casos para enrejados y marcos, estos variarán en su número de celdas básicas por eje definido como nc, que son las estructuras mínimas de las cuales están conformados los retículados periódicos. A partir de estos casos se lleva a cabo una optimización estructural para maximizar el band gap. La formulación del problema de optimización consiste en elegir dos bandas del diagrama de bandas y maximizar la separación entre estas. Para esto, las variables de decisión elegidas son la sección transversal de cada elemento y su respectivo material. Los materiales empleados por su alto contraste son el tungsteno y el aluminio. Como resultados, se logra optimizar exitosamente el reticulado de tipo enrejado y marco, obteniéndose de estos un band gap máximo para cada valor de nc. Una vez optimizados los reticulados, se llevó a cabo el estudio de escalamiento de su estructura. Para esto se introduce la constante de escalamiento alpha ( ) que será la relación entre el largo de la celda básica con respecto al diámetro de la sección transversal de la barra o viga, que tendrá el objetivo de mantener la proporción entre estas dos variables mientras la estructura se amplifica. El trabajo concluye que hay una relación de escalamiento para las estructuras reticuladas de tipo enrejado y marco, que será la relación entre la frecuencia a la cual esta sintonizado el band gap con respecto al largo en escala logarítmica. Esta relación será idéntica en enrejados y marcos. Además se encuentra que el rango normalizado del band gap para estructuras reticuladas con nc igual o mayor a 6 son iguales para los distintos casos entre enrejados, y lo mismo sucede con los marcos, aún cuando el número de celdas básicas aumenta. Se tiene finalmente que se pueden diseñar distintas estructuras que son capaces de aislar una misma frecuencia en función del número de celdas básicas y el largo de esta.