On group actions on 1-dimensional manifolds

Abstract

En la tesis consideramos acciones de grupos en r,ariedades unidimensionales. En e1 primer capÍtu1o probamos que 1a entropía de Ia acción de un grupo en el círculo, por difeomorfismos de clase C2, es igual a la entropía de Ia acción restringida al conjr-rnto de puntos no errantes. EspecÍficamente Teorema L. Si G es ttn subgrapo finitamente generad,o de Dift'l(Sl), entonces para catla sistema finito de generadores I de G, se ti,ene ñr (G O S') : h.. (G O f¿), d'ond'e I es el conjunto de puntos no errantes. Teorema B. Si G es un subgrupo fi.nitamente generado de Homeo-¡(Sl) sin elementos suberponenci,almente d,i,storsionados entonces para cada sistema f'ni,to de generadores I de G, se ti,ene h¡(G O S') : ñr (G O 0). En e1 segundo capítulo consideramos el problema de hacer actuar grupos nilpotentes en el intervalo, por difeomorfismos de clase C1+o y abordamos ia siguiente pregunta. Dado un grupo nilpotente, finitamente generado, libre de torsión, no abeliano G encontrarel supremo a(G) de los valores a > 0 tal que G se incrusta en Dil/i+"(|O, 1]) y probamos los siguientes resultados. Teorema C. Para tod,o n € N y o < 7 eriste un subgrupo ni,lpotente, metabelzano d'e Dif fy"(P,l)) de srado d,e ni.lpotencia n. Teorema D. Para todo n ) 2 g o < #=¡ et grupo Nn¡1 se incrusta en Dif ff"(10,t]), donde N^ denota el grupo (nilpotente) d,e las matrices triangulares inferiores de n x n con entrad,as enteras y unos en la diagonal.

We consider group actions on one-dimensional manifolds. In Chapter 1, we shorv that the topological entropy of a group action, by C2- cliffeomorphisms, on the circle is equal to the topological entropy of the action restricted to the non wandering set. N{ore preciseiy, we prove the follorving two results. Theorem A. If G is a finitety generated subgroup o/Ditrl(Sl), then for euery finite system of generators I of G, we haue hy (G O 51) : ñr (G O O). Here Q denotes the non-wandering set. Theorem B. IÍ G i.s a fi.nitelg generated subgroup o/Homeo-¡(Sr) uiithout sub-erponenti.ally distorted elements, then for euery fi,nite system of generators I of G, we haue ¿r(G O 51) : án (G O O). In Chapter 2, we consider nilpotent group actions, by C1+"-diffeomorphisms. on the interval. We tackle the follo'wing problem. Given a finitely generated, torsion-free, non-Abelian, nilpotent group G, find the supremum a(G) of the values of a > 0 such that G embeds into Ditrf+"([O, 1]). We prove the following. Theorem C. For each n € N and each a < 1, there exists a metabelxan, nilpotent subgroup o/ Ditrf+"([0, l)) whose nilpotence degree equals n. Theorem D. For eachnZ2 and each a < ffi, th" group N^¡ embed,s znto Difif"([O, 1]). Here ,ll, denotes the (nilpotent) group of ¿xn lorver-triangular matrices rvith integer entries, al1 of which are equal to 1 on the diagonal.