Curvature instability of localized structures

Abstract

The main objective of this thesis was to study the stability of two-dimensional localized structures, and to investigate how the destabilization due to the curvature could lead to the formation of extended patterns. This, in the context of macroscopic physics. Localized structures are nonlinear peaks or holes in spatially extended systems. They belong to the general class of dissipative structures found far from equilibrium. Spatial structures that are not localized and occupy the whole system are called extended patterns, these patterns posses some characteristic wavelength and usually emerge from the destabilization of an homogeneous state. One particular extended pattern in the Labyrinth, this type of pattern is characterized by its spatial disorder. In this thesis we focused on the study of the mechanisms by which a localized structure can turn into an extended pattern. Considering a variation of the most simple model known to exhibit extended patterns, the Swift-Hohenberg equation. We were able to observe how a two-dimensional circular localized structure is affected by a curvature instability, which deforms its circular shape into an elliptical and later elongated structure. This elongated structure suffers from a transversal instability, the subsequent pattern formed is also unstable, thus, generating a complex extended pattern, namely, a labyrinth. This mechanism occurs far from any pattern forming instability and requires coexistence of homogeneous state. In the context of the modified Swift-Hohenberg equation, a special parameter region was found where labyrinths coexisted with stable localized structures. In this zone of coexistence another type of localized structures were found to engender labyrinths. These new localized structures were called Rodlike localized structure. These, are non-azimuthally symmetric, and exist both in two and three-dimensions. A complete numerical characterization of their stability, phase diagram and interaction was made. It was shown that this type of structures also develop labyrinths by the curvature mechanism described before. The curvature instability mechanism of the destabilization of a localized structure leading to the formation of extended labyrinthine patterns exist in a wide range of physical systems. In this thesis we have shown the existence of this mechanism in the context of vegetation dynamics described by a generic interaction-redistribution model. It was also observed in autocatalytic chemical reactions described by the Gray-Scott reaction-diffusion model. This opens the possibility for future interdisciplinary theoretical and experimental work. Depending on the context and model considered, different classes of labyrinthine structures were shown to emerge from an initial localized structure. The parameters considered in the simulations also affects the type of pattern generated. By this observations we were able to classify the labyrinths based on the difference between the initial and final connectivity of their structures. In the context of vegetation dynamics described by a generic interaction-redistribution model, we described the process by which a localized spot destabilizes, elongating and splitting into two new localized spots, this process is called self-replications. Field observations of semi-arid ecosystems show that a certain specie of plant exhibits self-replications. Comparison between numerical and field observations show an underlying process by which self-replication mediates the self-organization of localized structures leading to extended pattern formation. We consider that this is a mechanism by which vegetation extends to cover the landscape, and also helps to explain the emergence of characteristic quantities observed in the statistical analysis of field observations.

El objetivo principal de esta tesis consistió en el estudio de estabilidad de estructuras localizadas bidimensionales, en particular se investigó cómo la desestabilización debido a la curvatura puede dar lugar a la formación de patrones extendidos. Esto, en el contexto de la física macroscópica. Las estructuras localizadas son picos o agujeros en los sistemas nolineales espacialmente extendidos. Estas, son parte de la clase general de estructuras disipativas que es posible encontrar lejos del equilibrio termodinámico. Las estructuras que no están espacialmente localizados y abarcan al sistema completo son llamados patrones extendidos. Dichos patrones poseen cierta longitud de onda característica y suelen surgir de la desestabilización de un estado homogéneo. Un patrón extendido particular es el Laberinto, este tipo de patrón se caracteriza por su desorden espacial. En esta tesis nos hemos centrado en el estudio de los mecanismos por los cuales una estructura localizada se desestabiliza para formar un patrón extendido. Considerando una ecuación tipo Swift-Hohenberg, ecuación prototipo que exhibe coexistencia de estados homogéneos, patrones extendidos y estructuras localizadas, hemos sido capaces de observar cómo una estructura localizada circular bidimensional se ve afectada por una inestabilidad debido a su curvatura. Esta inestabilidad se ve reflejada en un tansición de la forma de la estructura, de circular a elíptica, luego, alargada. La estructura alargada sufre de una inestabilidad transversal. El patrón formado posteriormente también es inestable, por lo tanto, se genera un patrón extendido complejo, a saber, un laberinto. Este mecanismo ocurre lejos de cualquier inestabilidad formadora de patrones (inestabilidad de Turing) y requiere coexistencia de estados homogéneos. En el contexto de la ecuación de Swift-Hohenberg generalizada, una región espеcial de parámetros fue encontrada, donde, los laberintos coexisten con estructuras localizadas estables. En esta zona de coexistencia se encontró un nuevo tipo de estructura localizada, llamada estructura localizada tipo Vara. Este objeto, no posee simetrá azimutal y existe tanto en dos como en tres dimensiones espaciales. Se realizó una caracterización mumérica completa de su estabilidad, diagrama de fase e interacción. Se mostró que este tipo de estructuras también desarrollan laberintos a través del mecanismo de curvatura descrito anteriormente. El mecanismo de inestabilidad de curvatura para la desestabilización de una estructura localizada que conduce a la formación de patrones laberínticos extendidos existe en una amplia gama de sistemas físicos. En esta tesis se mostró la existencia de dicho mecanismo en el contexto de la dinámica de vegetación descritas por un modelo de interacción-redistribución genérico. Además, se observó teóricamente en reacciones químicas autocatalíticas descritas por el modelo de reacción-difusión GrayScott. Esto abre la posibilidad de futuras investigaciones interdisciplinarias tanto teóricas como experimentales. Dependiendo del contexto y el modelo considerado, diferentes estructuras laberínticas pueden emerger de una estructura localizada inicial. Los parámetros considerados en las simulaciones también influyen en el tipo de patrón resultante. A través de estas observacioncs se logró construir una clasificación de los labcrintos basados en la diferencia entre la conectividad inicial y final de las estructuras que lo componen. Finalmente, en el contexto de la dinámica de vegetación descritas por un modelo de interacción-redistribución genérico, se describió el proceso por el cual una estructura localizada se descstabiliza, alargándosc y dividiéndose en dos nuevas ostructuras localizadas. Este proceso, se denomina auto-replicación. Las observaciones de campo de ecosistemas semiáridos realizadas con el uso de imágenes satelitales, mostraron que una determinada especie de planta exhibe auto-replicación. La comparación entre las observaciones muméricas y de campo muestran un proceso subyacente por el cual la auto-replicación media la auto-organización de las estructuras localizadas que conducen a la formación de patrones extendidos. Consideramos que este es uno de los mecanismos por medio de los cuales la vegetación se extiende para cubrir áreas extensas en ambientes áridos o semi-áridos. Esto permite además explicar la aparición de cantidades características extraídas del análisis estadístico de las observaciones de campo relacionadas a las tamaños y distancias entre las plantas.