Construcción sistemática de estructuras Lagrangianas y Hamiltonianas para ecuaciones no lineales

Abstract

En esta tesis, el punto de vista Lagrangiano para las ecuaciones de evolución (antiguamente conocido como el problema inverso del cálculo de variaciones) es usado para estudiar sistemas de ecuaciones diferenciales en primer orden en derivadas temporales, tanto en dimensión finita como en dimensión infinita. En lo que concierne a sistemas de dimensión finita, consideramos el marco general para la construcción de Principios de Acción para ecuaciones autónomas tridimensionales de primer orden. Presentamos los resultados para algunos casos integrables y no integrables de la ecuación Lotka-Volterra, y mostramos descripciones Lagrangianas que son válidas para sistemas que satisfacen los criterios de Shil'nikov sobre la existencia de atractores extraños, aunque no se han verificado aún ni comportamiento caótico ni órbitas homoclinas. Las ecuaciones de Euler-Lagrange obtenidas para estos sistemas usualmente presentan una simetría de "reparametrización temporal", aunque se pueden encontrar otros tipos de invariancia, de acuerdo al kernel de la 2-forma simpléctica asociada. La formulación de una estructura Hamiltoniana (corchetes de Poisson y Hamiltonianos) para estos sistemas desde el punto de vista Lagrangiano conduce a un método para encontrar otra constante de movimiento partiendo de una conocida, el que se aplica a algunos sistemas encontrados en la literatura de los cuales se conoce una constante de movimiento, para encontrar la otra y así mostrar su integrabilidad. En particular, mostramos que el así llamado sistema ABC es completamente integrable si posee una constante de movimiento. Con respecto a sistemas de dimensión infinita, o ecuaciones diferenciales parciales, mejoramos el punto de vista Lagrangiano para considerar términos de borde, lo que se aplica para construir escaleras de Principios de Acción para sistemas Integrables que poseen operadores hereditarios o de Nijenhuis. A partir de suposiciones generales sobre el operador hereditario R, los Principios de Acción que se obtienen son aplicables a jerarquías completas de ecuaciones de evolución. Usando simetrías Noetherianas y no Noetherianas, también se construyen cantidades conservadas desde los Lagrangianos. Como un ejemplo, usando el operador de recurrencia usual R para la ecuación Korteweg-de Vries (KdV), se construye una jerarquía derecha de ecuaciones de evolución (generada por la sucesiva aplicación de R sobre el único vector en el kernel de R-1) y tres jerarquías izquierdas de ecuaciones de evolución (generadas por la sucesiva aplicación de R-¹ sobre los tres vectores generadores del kernel de R): la ecuación KdV es un miembro de la jerarquía derecha, mientras que la ecuación de Sinh-Gordon (ShG), la ecuación asociada CamassaHolm, y la ecuación de Liouville son miembros de las jerarquías izquierdas. Para todas estas ecuaciones de evolución, se construyen recursivamente escaleras derecha e izquierda de Principios de Acción, usando la forma factorizada de los operadores Ry R-1, respectivamente; esto permite el cálculo explícito del kernel de las 2-formas simplécticas asociadas: encontramos que las ecuaciones de Euler-Lagrange a las que éstas dan lugar son vectores de evolución deformados o mezclados entre las jerarquías derecha e izquierdas. Consecuentemente, obtenemos Principios de Acción explícitos para los sistemas deformados, los que incluyen: KdV + Liouville, KdV + primer vector derecho (simetría de traslación), y ShG + primer vector derecho, entre otros. Algunos problemas abiertos acerca del rol de las simetrías Galileanas y de la construcción de estructuras Hamiltonianas para los vectores izquierdos se responden positivamente en nuestro esquema. Finalmente, construimos nuevas corrientes conservadas locales y no locales, y constantes de movimiento para algunas de las ecuaciones de evolución.