Estudio cualitativo de las soluciones de ecuaciones diferenciales con argumento contante por trozos

Abstract

Esta tesis presenta un estudio general de las soluciones de una clase amplia de ecuaciones diferenciales con argumento constante por trozos de tipo generalizado. En el primer capítulo, se estudia la teoría de existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales con argumento constante por trozos de tipo generalizado, nos preocupamos de la definición del concepto de solución, pasando por las problemáticas de existencia, unicidad de soluciones y dependencia continua de las soluciones respecto a las condiciones iniciales. Damos algunas representaciones y métodos para la resolución explícita e implícita de ecuaciones. Hacemos un estudio de distintos tipos de desigualdades de Gronwall en este tipo de ecuaciones diferenciales. En el segundo capítulo, se estudia la existencia de soluciones periódicas de dos tipos de ecuaciones diferenciales con argumento constante por trozos de tipo generalizado: los sistemas tanto semi-lineales como semi-lineales perturbados en el caso en que la parte lineal de la ecuación no admite soluciones periódicas no triviales. Para este efecto, dos operadores van a ser construidos y se muestra que si el operador tiene punto fijo, entonces la ecuación diferencial con argumento constante por trozos de tipo generalizado tiene una solución periódica. Según las distintas situaciones, las demostraciones de los resultados utilizan los teoremas del punto fijo de Banach, Brouwer, Schauder, Schaefer y Krasnoselskii. Luego, se estudia la posibilidad de introducir las aplicaciones de ecuaciones diferenciales con argumento constante por trozos de tipo generalizado en el mundo real no sólo un argumento con retardo, sino también avances, en el cual se le llama el Modelo anticipatorio.

This thesis presents a general survey of the solutions to a broad class of differential equations with piecewise constant argument, of generalized type. In the first chapter, we study the theory of existence and uniqueness of solutions of differential equations with piecewise constant arguments of generalized type, we concern about the definition of solution through the problems of existence, uniqueness of solutions and continuous dependence of solutions on initial conditions. We give some representations and methods for solving explicit and implicit equations. We study different types of Gronwall inequalities in this type of differential equations. In the second chapter, we study the existence of periodic solutions of two types of differential equations with piecewise constant arguments of generalized type: semi-linear and perturbed semi-linear systems in the case where the linear part of the equation does not have any nontrivial periodic solution. To this effect, two operators will be constructed and it will be shown that if the operator has a fixed point, then differential equations with piecewise constant arguments of generalized type have a periodic solution. According to different situations, the results need the use of fixed point theorems as Banach, Brouwer, Schauder, Schaefer and Krasnoselskii. Finally, we studied the possibility of introducing the application of differential equations with piecewise constant arguments of generalized type in real world not only with a retarded argument, but also with advances, which is called an anticipatory model.