Análisis armónico sobre espacios cuadráticos en dimensión par

Abstract

Sea k un cuerpo finito de característica distinta de dos, (E, Q) un espacio cuadrático no degenerado de dimensión par sobre k y G el grupo de similitudes de la forma cuadrática Q. La acción natural de G sobre el conjunto E se descompone en tres órbitas: la órbita trivial, la de los vectores isótropos Eo y la de los vectores anisótropos E1. En una primera parte, se demuestra en forma geométrica que cada una de las álgebras conmutantes Endc(L2(Eo)) y Endc(L2(E₁)) es conmutativa; además obtenemos que sus dimensiones son q+1yq²-1 respectivamente. Determinamos una familia completa de idempotentes primitivos y ortogonales de las álgebras conmutantes Endc(L2(Eo)) y Endc(L2(E₁)), cuya descripción se entrega en los teoremas 1 y 14. Obtenemos así la descomposición explícita en irreducibles de las representaciones sin multiplicidades L2(Eo) y L2 (E₁).

Let k be a finite field of characteristic different from two, (E, Q) an even dimensional non degenerate quadratic space over k and G the similarity group of the quadratic form Q. The natuural action of G on E descomposes into 3 orbits: the trivial one, the orbit Eo consisting of all isotropic vectors, and the orbit E consisting of all anisotropic vectors. In a first part it is shown in a geometric way that the algebras Endc(L2(Eo)) and Endc(L2(E₁)) are commutative; we also compute their dimensions to beq+1 and q²-1 respectively. We find a complete orthogonal family of primitive idempotents for the commuting algebras Endc(L2(Eo)) and Endc(L2(E₁)), whose description is given in theorems 1 and 14. We obtain in this way the explicit descomposition into irreducible components for the multiplicity-free representations L2(Eo) and L2(E₁) of G.