The curve shortening flow in R3 type II singularities and planarity

Abstract

En esta tesis estudiamos la formación de singularidades durante la evolución por curvatura de curvas en el espacio R³. Nociones de curvatura total de la curva y superficie mínima asociada a ésta son utilizadas para definir radios isoperimétricos que dependen de cantidades geométricas tales como largos y áreas. Probamos que bajo ciertas hipótesis de la curva y superficie mínima en cuestión se descarta la formación de singularidades tipo II. Además, mostramos que cerca del punto donde se produce la singularidad es posible aproximar una curva cualquiera en R³, que evolucione por curvatura, por una curva plana con mejores propiedades que la anterior.

In this thesis, we study the formation of singularities through the curve shortening flow in R3. Notions of total curvature of the curve and its associated minimal surface are used to define isoperimetric ratios that depends of geometric quantities such as lengths and areas. We prove that, under certain assumptions of the curve and minimal surface, the formation of type II singularities is discarded. Moreover, we show that, close to the singularity, it is possible to approximate any curve in R3 that evolves by its curvature by a planar curve with better properties than previous curve.