Superficies de Riemann y sus dessins d`enfants

Abstract

Sean βj: Sj → So, j = 1,2, dos recubrimientos holomorfos no constantes dados entre superficies de Riemann compactas. Asociado a ellos esta su producto fibrado (en la categoría de conjuntos) el cual puede o no ser conexo y cuando es conexo puede o no ser irreducible. Se da una descripción Fuchsiana de las componentes irreducibles del producto fibrado y, como consecuencia, mostramos que si uno de los recubrimientos βj es regular, entonces todas las componentes irreducibles son isomorfas. En el caso en que el producto fibrado sea conexo (por ejemplo, por los resultados de Fulton-Hansen, cuando So tiene género cero), proveemos condiciones suficientes para que éste sea irreducible; se dan ejemplos para ver que estas condiciones no son necesarias en general. Definimos el cuerpo (fuerte) de moduli del producto fibrado y vemos que éste coincide con el cuerpo más pequeño que contiene a los cuerpos de moduli de los pares iniciales (S1, β1) y (S2, β2).

Given non-constant holomorphic coverings βj: Sj So, j = 1,2, between compact Riemann surfaces, there is associated its fiber product (in the set theoretical sense), which may or not be connected and when it is connected it may or not be irreducible. A Fuch- sian group description of the irreducible components of the fiber product is given and, as a consequence, we show that if one of the coverings ẞ; is regular, then all irreducible com- ponents are isomorphic. In the case that the fiber product is connected (for instance, by results of Fulton-Hansen, if So has genus zero), we provide sufficient conditions for it to be irreducible; examples are provided to see that these conditions are not necessary in general. We define the (strong) field of moduli of the fiber product and see that it coincides with the minimal field containing the fields of moduli of the starting pairs (S1, β1) and (S2, β2).