Generación de patrones en modelos tipo Gierer-Meinhardt mediante inestabilidad de turing

Abstract

Se plantea el estudio del modelo de Gierer-Meinhardt en una y dos dimensiones con condiciones de borde Neumann nulas y peri´odicas, abord´andolo desde el punto de vista de los m´etodos de energ´ıa, teor´ıa de perturbaciones y simulaciones num´ericas, herramientas ´utiles para explicar de buena manera la periodicidad que puede apreciarse en los patrones generados por este modelo. Se llamar´a patr´on a una soluci´on estacionaria no homog´enea de un sistema de reacci´ondifusi ´on. En el modelo estudiado, estos corresponder´an a m´aximos aislados con una distribuci ´on uniforme. Se presentar´an algunos teoremas conocidos en la literatura sobre regularidad y maximalidad que ser´an la base para la caracterizaci´on de las soluciones estacionarias del sistema, las cuales sustentar´an y dar´an validez a las simulaciones num´ericas presentadas. Posteriormente se analizar´a el sistema de reacci´on-difusi´on desde el punto de vista del an´alisis perturbativo. Esto dar´a pie a entender c´omo el conjunto de par´ametros del modelo es capaz de influir en la estabilidad de las soluciones homog´eneas, e impondr´a condiciones sobre estos mismos para la aparici´on o ausencia de patrones como soluci´on estacionaria del sistema. El an´alisis perturbativo tambi´en ser´a utilizado para hacer estimaciones sobre la distancia a la cual deber´ıan estar ubicados los m´aximos en un patr´on, obteni´endose una conjetura con amplio respaldo num´erico. Para abordar el problema de la distribuci´on de m´aximos que exhiben los patrones del modelo, se propone inicialmente la resoluci´on de un sistema lineal aproximado, cuyas soluciones ser´an denominadas soluciones de Green aproximadas, las cuales poseen soluci´on expl´ıcita en una dimensi´on. Este procedimiento est´a fundamentado en el trabajo conjunto de Juncheng Wei y Matthias Winter, quienes hacen uso de la funci´on de Green del sistema (en una dimensi ´on con condiciones de borde Neumann nulas) para demostrar la existencia y regularidad de soluciones correspondientes a m´aximos aislados que exhibe el modelo ya mencionado. Este procedimiento es generalizado y extendido a condiciones de borde peri´odicas. Las soluciones de Green aproximadas depender´an de la posici´on de los m´aximos, por lo cual cada soluci´on num´erica estacionara tendr´a su funci´on de Green aproximada. Se postula un funcional que dependa de las soluciones de Green aproximadas, convirtiendo el problema de distribuci´on de m´aximos en el patr´on en uno de optimizaci´on en dimensi´on finita (generando una nueva conjetura con amplio respaldo num´erico). Las simulaciones num´ericas est´an en buen acuerdo con el funcional propuesto para dimensi´on uno, tanto para condiciones de borde Neumann nulas como peri´odicas.