Automorphisms and Weierstrass points on Riemann surfaces

Abstract

El trabajo de esta tesis consiste en el estudio de la acción de los grupos de automorfismos de superficies de Riemann compactas sobre el conjunto de puntos de Weierstrass de las superficies. Se obtiene de esta acción, una representación lineal ρW del grupo, que llamamos Representación de Weierstrass. Los resultados obtenidos para esta representación tienen relación con modos de extraer información sobre su descomposición isotípica comparándola con la representación lineal ρH asociada a la acción de los automorfismos en el primer grupo de homología de la superficie. En particular, estudiamos esta representación para distintos pinceles y familias de curvas tales como superficies hiperelípticas, las curvas de Fermat y los pinceles de Kuribayashi en género 3 y de Wiman-Edge en género 6. Obtenemos resultados generales que van desde la ortogonalidad entre ρW y la representación ρH racional en superficies hiperelípticas, hasta un modo de identificar cuándo la acción del grupo de automorfismos sobre los puntos de Weierstrass es transitiva usando la descomposición de ρW en representaciones irreducibles complejas.

The work in this thesis consists in the study of the action of the automorphism groups of compact Riemann surfaces on the set of Weierstrass points of the surfaces. It is obtained from this action a linear representation ρW of the group, which we call the Weierstrass representation. The results obtained for this representation are related to ways of extracting information about its isotypical decomposition comparing it with the linear representation ρH associated to the action of the automorphisms on the first group of homology of the surface. In particular, we study this representation for different pencils and families of curves such as hyperelliptic surfaces, Fermat curves and the Kurib ayashi on genus 3 and Wiman-Edge on genus 6 pincels. We obtain general results that go from the orthogonolity between ρW and the rational representation ρH on hyperelliptic surfaces to a way to identify when the action of the automorphism group on the set of Weierstrass points is transitive using the decomposition of ρW into complex irreducibles representations.