Two problems on group actions on varieties

Abstract

Como reza en el titulo, este trabajo consiste en dos problemas independientes. En lo que sigue se presentan sus respectivos resúmenes. Descomposición de jacobianas. Se presenta una descomposición de la variedad jacobiana de una curva de Fermat generalizada. Esto extiende un resultado obtenido por Auffarth, Lucchini Arteche y Rojas sobre las curvas de Humbert-Edge, que constituyen un caso particular de las curvas de Fermat generalizadas. Además, se proporcionan ejemplos de curvas de Fermat generalizas con jacobianas completamente descomponible, así como una cota inferior para el número de curvas elípticas que aparecen en la descomposición de las jacobianas de curvas de Fermat generalizadas de tipo (n, 3). Acciones de toros. Se provee una descripción algebro-combinatorial de variedades normales geométricamente integrales provistas de una acción efectiva de un toro algebraico sobre cuerpos de característica cero, generalizando el trabajo de Altmann, Hausen y Süss. Esta descripción se obtiene en términos de divisores polyhedrales propios y abanicos divisoriales junto una acción semilineal del grupo de Galois relacionado a la extensión que escinde al toro

As stated in the title, this work consists of two independent problems. Their respective abstract are given below. Descomposition of jacobians. A decomposition of the Jacobian variety of a generalized Fermat curve is given. This extends a result obtained by Auffarth, Lucchini Arteche and Rojas on Humbert-Edge curves, which are a particular case of generalized Fermat curves. Moreover, examples of generalized Fermat curves with completely decomposable jacobians are provided, as well as a lower bound for the number of elliptic curves appearing in the decomposition of the jacobians of generalized Fermat curves of type (n, 3). Torus actions. An algebro-combinatorial description of geometrically integral normal varieties endowed with an effective action of an algebraic torus over fields of characteristic zero is provided, generalizing the work of Altmann, Hausen and Süss. This description is achieved in terms of proper polyhedral divisors and divisorial fans with a Galois semilinear action.