Minimization of the ground state of the mixture of two conducting materials in a small contrast regime

Abstract

En esta tesis se considera la resolución de problemas de diseño óptimo mediante procedimientos asintóticos de segundo orden. Estos procedimientos nos proveen de una formulación simplificada del problema que permite ser implementada para la obtención de resultados numéricos. Los procedimientos asintóticos de primer orden se han tenido en cuenta con el fin de mostrar la importancia del modelo de segundo orden. Las consideraciones teóricas dan cuenta de las diferencias entre los modelos implementados. En particular, el procedimiento asintótico de primer orden está basado en la técnica de los conjuntos de nivel mientras que el de segundo orden se basa en los procesos de relajación.

En términos generales el modelo de segundo orden está mal condicionado debido a que un óptimo para el problema puede no existir en la clase de los conjuntos admisibles. El problema relajado es obtenido entonces como resultado del método de homogeneización que, a través de los procesos, requiere de la teoría de las H-medidas.

Los problemas abordados en esta tesis se enfocan en determinar la configuración óptima de dos materiales isotrópicos (caracterizados por dos magnitudes físicas constantes distintas) dentro de un dominio acotado fijo $\Omega$ con el fin de minimizar una función objetivo asociada a una ecuación de estado, bajo la restricción de que los materiales se mantengan a una proporción de volumen fija. El parámetro escalar $\varepsilon$, con respecto al cual se realizan las expansiones asintóticas, se define como la "diferencia'' entre las magnitudes que describen el comportamiento de los materiales, el cual se debe tomar lo suficientemente pequeño para la obtención de los resultados. El primer problema de la tesis consiste en minimizar el primer valor propio $\lambda$ del operador de difusión $-\dive(\sigma\nabla\cdot)$ en el espacio $\sH_0^1(\Omega)$ donde, como es bien sabido, $\sigma$ representa la densidad de difusión de los materiales al interior del dominio $\Omega$. El segundo problema está dedicado al estudio de la maximización de la "Compliance'' o la energía elástica acumulada de un sistema elástico con condiciones mixtas Dirichlet-Neumann.

El tercer y último problema de esta tesis combina los resultados obtenidos de el primer y segundo problema para la resolución parcial al problema de minimizar el primer valor propio del operador de elasticidad $-\dive A e(\cdot)$ en el espacio $\bsH_0^1(\Omega)^d$, donde $A$ representa el tensor de cuarto orden que describe el comportamiento elástico de los materiales dentro de $\Omega$ y $e$ es el operador diferencial que genera el tensor de deformaciones del sistema.