Coexistencia y cascadas de bifurcaciones en una familia de sistemas de partículas caóticos

Abstract

En el presente trabajo se estudian dos sistemas de partículas asumiendo ciertas hipótesis que permiten el cálculo explícito de algunas expresiones. El primer sistema en estudio surge del modelo del votante (VM) y del modelo presentado por Durrett y Remenik en [11] (MM), y tiene por regla de evolución una fusión de las que poseen los sistemas anteriores. Dado que los resultados obtenidos sobre este primer sistema son parecidos a los presentados en el paper de Durrett y Remenik ([11]) sobre MM se prosigue, por simplicidad en los cálculos, estudiando éste último y se obtiene: la determinación de una forma analítica para el punto fijo cuando existe, extensión para la muerte de componentes conexas de tamaño finito, extensión para regla de evolución local y extensión a una cantidad finita de especies que comparten el espacio. El estudio realizado se estructura, para cada sistema, de la siguiente manera: primero se analiza un candidato a límite y se buscan las hipótesis necesarias para que éste lo sea efectivamente, luego se extraen propiedades del límite encontrado y se buscan condiciones sobre las cuales éste, en su evolución temporal, exhibe extinción, convergencia a un punto fijo o caos. En el caso con dos especies, además de las conductas mencionadas anteriormente, se establecen condiciones sobre las cuales hay coexistencia. Además, en el sistema con una especie y muerte de componentes conexas de tamaño finito se exhiben cascadas de bifurcación sobre el sistema límite, hecho que no se presenta para la muerte de componentes conexas de tamaño infinito. La ocurrencia de las cascadas de bifurcación no pudo ser demostrada, dada la dificultad algebraica de las expresiones, pero se presentan argumentos que sugieren que éstas se verifican. Finalmente, con esta metodología se permite describir completamente el diagrama de fase para el sistema con una especie y parcialmente para el de dos especies, conjeturando el comportamiento sobre algunas zonas.