Study of some problems in modelling and optimization of bioprocesses

Abstract

El propósito de esta tesis es el estudio de algunos problemas que surgen desde la ingeniería de bioprocesos. En particular, el análisis del comportamiento y el cultivo óptimo de microalgas y la conexión de múltiples bioreactores. Se proponen y analizan tres problemas. El primero se basa en un reciente trabajo en el cual los autores alteran el clásico modelo de Monod incorporando incidencia de luz en la dinámica a través de la función de crecimiento de la biomasa. La idea es estudiar un problema de optimización no lineal más general, el cual considera la maximización de la biomasa de microalgas promedio respecto del tiempo, para diferentes intervalos temporales. La dificultad matemática que se presenta tiene relación con que la discontinuidad en los intervalos de tiempo provoca la no diferenciabilidad en partes del dominio temporal. Esta falta de regularidad implica la formulación de un problema de optimización no suave. En el segundo problema se analiza un modelo matemático reducido de un estanque de microalgas con nitrificación, asumiendo que las microalgas pueden crecer, ya sea consumiendo nitrato como amonio, con preferencia por el amonio. La limitación de luz por auto-sombreado también es incluida en la tasa de crecimiento de microalgas como inhibición no competitiva. Es factible reducir el sistema usando la teoría de sistemas asintóticamente autónomos y el sistema limitante obtenido se puede considerar como una perturbación de un sistema de dos especies que compiten por un sustrato. Por lo tanto, utilizamos un resultado de sistemas perturbados no evanescentes para obtener teorema de estabilidad que demuestra la coexistencia. El último problema tiene relación con sistemas compartimentados. Se prueba que para una gran clase de sistemas entrada-salida positivos de dimensión finita que representan redes de transporte y difusión de soluto entre compartimentos móviles e inmóviles, existen representaciones MINC (multiple interacting continua) y MRMT (multi-rate mass transfer) algebraicamente equivalentes. Más aún, se entregan métodos explícitos para construir estas representaciones equivalentes, donde la controlabilidad de los sistemas juega un rol importante.

The purpose of this thesis is to study some problems that arise from bioprocess engineering, in particular the behaviour analysis and optimal cultivation of microalgae and the connection of multiple bioreactors. The thesis consists of three problems. The first is based on a recent study in which the authors extend the classical Monod model incorporating light incidence on the dynam-ics through the role of biomass growth. The idea is to study a more general problem of nonlinear optimization which considers maximization average biomass of microalgae versus time, for dif-ferent time intervals. The mathematical difficulty that arises is related to that discontinuity of the time intervals which causes non differentiability in some domain points. This lack of regu-larity involves the formulation of a non-smooth optimization problem. In the second problem, a reduced mathematical model of a microalgal pond with nitrification is analyzed, assuming that microalgae can grow either by ammonium consumption or by nitrate consuming, with preference for ammonium. Light limitation by self-shading is also included in the growth rate of microalgae as a noncompetitive inhibition. It is feasible to reduce the system using the theory of asymptoti-cally autonomous systems and the limiting system obtained can be considered as a perturbation of a system of two species competing for a substrate. So, we use a result of non-vanishing pertur-bated systems to obtain a strong stability theorem for equilibrium coexistence. The last problem is related to compartmental systems. It is proved that for a large class of finite dimensional input-output positive systems that represent networks of transport and diffusion of solute in mobile and immobile compartments, there exist MINC (multiple interacting continua) and MRMT (multi-rate mass transfer) algebraically equivalent representations. Moreover, we provide explicit methods to construct these representations, where controllability property is playing a crucial role. Keywords: Bioprocess, optimization, mathematical modelling, compartmental system, mi-croalgae growth, controllability.

L’objet de cette thèse est l’étude de certains problèmes liés à l’ingénierie des bioprocédés, en particulier l’analyse du comportement et de la culture optimale des microalgues et la connexion de plusieurs bioréacteurs. Trois problèmes sont proposés et analysés. Le première est basé sur une étude récente dans laquelle les auteurs modifient le modèle classique du Monod en incorpo-rant l’incidence de la lumière sur la dynamique à travers le rôle de la croissance de la biomasse. L’idée est d’étudier un problème plus général de l’optimisation non linéaire qui considère max-imisation de la biomasse moyenne de microalgues en fonction du temps, pour des intervalles de temps différents. La difficulté mathématique qui se pose est lié à la discontinuité des inter-valles de temps qui rend la fonction à optimiser non différentiable. Ce manque de régularité comprend la formulation d’un problème d’optimisation non-lisse. Dans le deuxième problème, un modèle réduit du réservoir microalgues avec nitrification est analysé, en supposant que les microalgues peuvent se développer à partir de la consommation de nitrate et d’ammonium, de préférence par l’ammonium. La limitation de la lumière par l’auto-ombrage est également inclus dans le taux de croissance du microalgues comme inhibition non compétitive. En réduisant le système en utilisant la théorie des systèmes asymptotiquement autonomes, il peut être considéré comme une perturbation d’un système de deux espèces en compétition pour un substrat. Par conséquent, nous utilisons un résultat de systèmes perturbés non-évanescentes pour obtenir un théorème de stabilité pour la coexistence. Le dernier problème est lié aux systèmes compartimen-tés. Il est prouvé que pour une grande classe de systèmes entrées-sorties positifs de dimension finie, représentant transport et diffusion de soluté entre des compartiments mobiles et immobiles, il existe des représentations MINC (multiple interacting continua) et MRMT (multi-rate mass transfer) algébriquement équivalentes. En outre, des méthodes explicites sont donnés pour construire ces représentations équivalentes, où la contrôlabilité des systèmes joue un rôle important. Mots clés: Bioprocédés, optimisation, modélisation mathématique, systèmes compartimen-taux, croissance des microalgues, contrôlabilité.