A non perverse Soergel bimodule in type A

Abstract

A basic question concerning indecomposable Soergel bimodules is to understand their en-domorphism rings. In characteristic zero all degree-zero endomorphisms are isomorphisms (afact proved by Elias and the second author) which implies the Kazhdan–Lusztig conjec-tures. More recently, many examples in positive characteristic have been discovered with larger degree zero endomorphisms. These give counter-examples to expected bounds in Lusztig’s conjecture. Here we prove the existence of indecomposable Soergel bimodules in type Ahaving non-zero endomorphisms of negative degree. This gives the existence of a non-perverse parity sheaf in type A.

L’étude de l’anneau des endomorphismes des bimodules de Soergel indécomposables est une question importante. En caractéristique zéro, tous les endomorphismes de degré zero sont des isomorphismes (comme démontré par Elias et le deuxième auteur). Ceci implique les conjectures de Kazhdan–Lusztig. Plus récemment, en caractéristique positive, de nom-breux exemples ont été trouvés d’endomorphismes de degré zero qui ne sont pas des isomorphismes. Ceci donne des contre-exemples aux bornes dans la conjecture de Lusz-tig. Dans cette Note, nous prouvons l’existence de bimodules de Soergel indécomposables, de typeA, ayant un endomorphisme de degré négatif. Ceci prouve l’existence d’un faisceau de parité non pervers de type A.