Vortices in the anisotropic Ginzburg-Landau equation for thin nematic liquid crystal cells

Abstract

In this thesis, a version of the anisotropic Ginzburg-Landau equation is studied as a model of defects in thin cells of nematic liquid crystals. This thesis is composed of 6 chapters and 2 appendices. The first 3 chapters are introductory and serve to present the problem to be solved. The first chapter is focused on presenting the nematic liquid crystals. In the next two chapters, we introduce the vortices of the Ginzburg-Landau model in the context of liquid crystals with or without anisotropy. In addition some results that will be useful in the construction of anisotropic vortex-type solutions are stated. Chapter 4 is dedicated to constructing vortices of positive and negative degree of the Ginzburg-Landau anisotropic equation, based on a perturbative approach through an application of Banach's Fixed Point Theorem and the invertibility of the linearized operator around the symmetric vortices in the suitable spaces. In addition the Fourier decomposition of the linear approximation of the negative degree perturbed vortex, for these solutions, energy expansion and stability, are also studied. The chapter 5 is dedicated to the finite element method, of the linear approximation of the anisotropic vortex of negative degree, as well as a quantitative estimation of the quadratic coefficient in its energy expansion. With these, the complete bifurcation diagram of the energy of the anisotropic vortices is deduced for both negative and positive degrees. In chapter 6, from the extension to $\R^2$ of the system of differential equations for the dominant mode of the Fourier series decomposition of the linear approximation perturbed solution found in chapter 4, we built a linear approximation of the negative anisotropic vortex in the entire plane.

En esta tesis se estudia una versión de la ecuación anisotrópica de Ginzburg-Landau como un modelo de defectos en celdas delgadas de cristales líquidos nemáticos. Esta tesis está compuesta de 6 capítulos y 2 apéndices. Los primeros 3 capítulos son introductorios y sirven para presentar el problema que se quiere resolver. El primer capítulo está enfocado en presentar los cristales líquidos nemáticos. En los siguientes 2 capítulos, introducimos los vórtices del modelo de Ginzburg-Landau en el contexto de cristales líquidos con o sin anisotropía. Además de resultados que nos serán útiles en la construcción de soluciones tipo vórtice anisotrópicos. El capítulo 4 está dedicado a construir vórtices de grado positivo y negativo de la ecuación anisotrópica de Ginzburg-Landau, basándose en un enfoque perturbativo a través de una aplicación del Teorema de Punto Fijo de Banach y la invertibilidad del operador linealizado en torno a los vórtices simétricos en los espacios adecuados. También se estudia su expansión de energía y estabilidad de estas soluciones obtenidas. Además de su descomposición de Fourier de la aproximación lineal del vórtice de grado negativo perturbado. El capítulo 5, está dedicado a hacer simulaciones a través del método de elementos finitos, de la aproximación lineal del vórtice anisotrópico de grado negativo, así como una estimación cuantitativa del coeficiente cuadrático en su expansión de energía. Con esto se deduce el diagrama de bifurcación completo de la energía de los vórtices anisotrópicos tanto de grado negativo y positivo. En el capítulo 6, a partir de la extensión a $\R^2$ del sistema de ecuaciones diferenciales para el modo dominante de la descomposición en serie de Fourier de la aproximación lineal de la perturbación de la solución encontrada en el capítulo 4, se construye una aproximación lineal del vórtice anisotrópico de grado negativo en todo el plano.