Equivalence of Group Actions on Riemann Surfaces

Abstract

This work was intended as a contribution to the problem of equivalent group actions on Ríemann surf aces. The main result of this thesis is the constructions of 1-parameter families of Riemann surfaces admitting automorphism groups with two cyclic subgroups H1 and H2 that are conjugate in the group of orientation-preserving homeomorphisms of the corresponding Riemann surfaces, but not conjugate in the group of conformal automorphisms. This property is interesting because it implies that the subvariety M9(H1) of the moduli space M9 consisting of the points representing the Riemann surfaces of genus g admitting a group of automorphisms topologically conjugate to H1 (equivalently to H2 ) is nota normal subvariety. This construction is done for subgroups of order 2n far each natural number n 2:: 3 and, in particular, for arbitrarily large genus. The main tool is the theory of Fuchsian groups. A key result of this thesis is the generalization of a theorem by Harvey that establishes a relation between cyclic coverings of order n of the Riemann sphere and epimorphisms of certaing Fuchsian groups to the cyclic groups of arder n1 by means of the rotation angles for the automorphism defining the cyclic group.

Este trabajo nace como una contribución al problema de equivalencia de aciones de grupos en superficies de Riemann. El principal resultado de la tesis es la construción de familias 1-paramétricas de superficies de Riemann que admiten grupos de automorfismos con dos subgrupos cíclicos H1 y H2 que son conjugados en el grupo de homeomorfismos que preservan orientación de las correspondientes superficies, pero no son conjugados en el grupo de automorfismos conformes. Esta propiedad es interesante porque implica que la subvariedad M9(H1) de el espacio de moduli M9 cuyos elementos representan superficies de Riemann de género g que admiten un grupo de automorfismos topológicamente conjugado a H1 (equivalentemente a H2) no es un subvariedad normal. Esta construción es hecha para subgrupos de orden 2n para cada número natural n;:::: 3 y, en particular, para géneros arbitrariamente grandes. La principal herramienta usada es la teoría de grupos Fuchsianos. Un resultado clave de esta tesis es la generalización de un teorema de Harvey que establece una relación entre los cubrimientos cíclicos de la esfera de Riemann de orden n y los epimorfismos de ciertos grupos Fuchsianos a grupos cíclicos de orden n, por medio de los ángulos de rotación de los automorfismos que definen el grupo cíclico.